0^1(０の１乗）はいくつでしょうか。

質問

タイトルの通りです。0^0が不定なのは
存じていますが、では0^1はいくつでしょうか。
根拠を明確にして回答してもらえれば有りがたいです。
残念ながら今仕事中（せっかくの休みなのに、
他の部署の応援に駆り出されてしまった。ぶつ、ぶつ、ぶつ・・・）ですので質問の背景は帰宅してから補足させてもらいます。
が、背景を推測しながら考えてもらえるのも面白い（かもしれません）。

回答No.18

scale--free

０＾０は１だと思うことができ、０＾１は１だと思うことができます。

なぜなら、f(x)= x^x, g(x)=x^(x+1), (x>0) とおきましょう。すぐに、
f(x)=e^{x log x}, g(x)=e^{(x+1) log x}
であることはわかります。

いま、x -> 0での極限を考えましょう。すると、
f(x) -> e^0 = 1, g(x) -> e^{-∞} = 0
となります。

つまり、x -> 0 での極限であると考えれば値は存在します。
逆に、f(0)=1, g(0)=0であると定義すれば、f, gは０以上の実数の集合上で定義される連続な関数になります。

回答No.17

jmh

#9 の続き。
「１×Ａ＝Ａを乗法的に書いたのが、Ａ＾１＝Ａです」じゃダメ？
加法的：０×Ａ＝Ｏ，１×Ａ＝Ａ，２×Ａ＝Ａ＋Ａ，…
乗法的：Ａ＾０＝Ｉ，Ａ＾１＝Ａ，Ａ＾２＝Ａ×Ａ，…

回答No.16

tttt23

> ａのｎ乗とはｎ個のａを掛け合わせて得られる数の事である。

この素朴な定義は確かに n が 2 以上の場合しか当てはまらないと思います。

> このような拡張をするためには除算が本質的ですから、０の場合には指数は２以上でなければならないと思っています。
> このような拡張をするためには除算が本質的ですから、

この意味がよく分かりません。n が 0 の場合は確かに除算が出てきますが、n が 1 のときなぜ除算が本質的なのでしょう。

回答No.15

jmh

冪を延長するときは「ｘ＾（ｙ＋ｚ）＝（ｘ＾ｙ）（ｘ＾ｚ）を破壊しない」ようにすると思います。
そして、
　０＝０×０＝０＾２＝０＾（１＋１）
　　＝（０＾１）×（０＾１）
なのだから、０＾１＝０になるハズです。

直感を延長して次のような感じにできるかなぁ…と思います。
集合に冪算法を
ｘ＾ｙ＝｛ｙ→ｘ｝＝｛ｙからｘへの写像｝
とします。
集合の濃度に冪算法を
（＃ｘ）＾（＃ｙ）＝＃（ｘ＾ｙ）
とします（ｘとｙは集合、＃ｘはｘの濃度）。
有限の濃度を自然数と呼びます。
０＾１＝＃｛　｛｝→｛０｝　｝＝０

回答No.14

hyper-cube

「ａのｎ乗とはｎ個のａを掛け合わせて得られる数の事である」と考えているようですが、素朴な（歴史的な）考えとしてはあっていると思います。
でも「この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでａ＾１＝ａであることも、私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。が、このような拡張をするためには除算が本質的ですから、０の場合には
指数は２以上でなければならないと思っています。」
の部分は別の解釈によって回避できます。
言葉としてはNを1個かけるというのは正しくありませんが（かけるという演算は2項演算だから）これを何もかけないという風に解釈しなおします。するとすべての自然数について言葉として矛盾は起こらなくなります。これがあなたの言う拡張に当たります。
つまりA＾１＝Aと定義するわけです。
これは定義ですから別にかってに変えてもかまわないということになります。（例えばA＾１＝１としてもいいかもしれない）しかしこのあと-N乗を定義してそこからA^3*A^(-2)=A^(3-2)という風に加法定理を拡張した時A^1=A(Aは０ではない)としないと矛盾することになります。よってA^1=Aは妥当であり、それを０に拡張するのは自然なことです。それを無理やり解釈するならはじめに言った感じになるのです。
参考までにA*0は0、A*1はAですよね。これはA*N＝A+A+…と考えると前者は何も足さないつまり0後者はAに何も足さないと考えれば納得いきませんか？
これらの式が定義であって何かから導けるものではないのであなたの疑問は本来ナンセンスです。いくつか？ではなくいくつにすれば矛盾がないか自然かということに疑問を向けたほうがいいと思います。
ちなみに僕の言う定義の仕方は帰納的な定義の仕方なのでもしそれ以外に累乗の定義の仕方があってしかも普通の累乗の定義を包含するようなものから0＾1＝0導けないとは言い切れません。
ちなみに0の階乗は1と定義しますがこれは階乗をガンマ関数で定義すれば導けるます。

回答No.13

suima

#6です。補足です。

＞この定義の出典を教えてください。
　えっと、最初の最初は自分で考えました（笑
０以外の数の０乗が１になるっていうのを聞いて疑問に思ったので、
中学の時にちょっと考えて作りました。
　その後、学校（中学・高校・予備校）の数人の教師に聞いて、
その定義で合ってるというので、
今でもこの定義を使っています。
（今のところ矛盾点はありませんし。もちろん、0^0を除いての話ですけど）
　だから残念ながら文献としての出展はありません。
調べようとしたことはあったのですが、
指数を明文化している本のタイトルの見当がつきませんでした。
　あと、以下でも述べますが、私が述べた定義は指数部分が整数のものです。
だから、何らかの本に定義が書いてあるとすれば、
先の私の述べた定義のような形ではない可能性が高いです。

＞この理由からすると、指数の範囲は２以上の整数
＞である必要があって、拡張はできないわけですね。
　えっと、それじゃあもっと正確に言いますね。
まず、指数部分に整数をもってきて考えるのは、
生活と結びつけやすく、理解されやすいからです。
　しかし、数学は形而上のものなので、
実生活とはかかわりのないものも扱えます。
たとえば、虚数などはその代表でしょう。
　実際、虚数が数学の世界で市民権を得るまで、莫大な年月がかかりました。
虚の解などといって、解とみなされなかったのです。
最終的には、ガウス平面の普及により、ようやく市民権を得ることができました。
　と、少々脱線してしまいました。
先の定義で指数の範囲が２以上である必要がある、
とgraphaffineさんが思ってしまったのは、
私の述べた定義が整数に関して成り立つものだからです。
　実際、考えうるものは数学の対象となる。
という言葉さえ聞くことがあるように、
数学では指数部分に何がこようとかまいません。
実数も有理数も無理数も複素数もです。
（後の方は専門分野に入っていくのでよく分かりませんが）

なんか言い訳みたいな補足になってしまいましたが、よろしいでしょうか？

少なくとも一ついえるのは、
0^1=0です。

回答No.12

i536

#1です、補足します。
下記にとらわれず、矛盾しなければ自由に定義しても一向に構わないと思います。
回答を自信なしにしたのは、絶対ではないという意味です。

>この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでａ＾１＝ａであることも、
>私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。

おっしゃるとおり、拡張の結果です。
べき関数f(x)=x^aは、指数aによって、xの定義域は異なります。
ご存知のとおり、一般に、拡張にともなって、xの定義域は狭められていきます。
ただし、べき関数の定義を拡張するとき、定義から受ける恩恵をできるだけ大きくするために、
ｘの定義域は矛盾を発生させない限りできるだけ大きくするはずです。

べき関数の拡張の段階を、
岩波講座・基礎数学『解析入門１』小平邦彦p89-92
に従って、おっていきますと、下記のようになります。
だたし、肝心の(1)(2)(3)の部分は高校で修得ずみとして書いてありません。

aが自然数a=1,2,3,...の場合、xの定義域は【すべての実数(0を含む)】です。
このとき、実数0を含ませるのは、0^a=0としてなんの矛盾も生じないからです。
むしろ、x^a=0としたほうが、f(x)が連続するため恩恵が大です。
逆に、X=0を定義域から外すと、微分などが面倒になってきます---(1)

aが負の整数a=-1,-2,-3、...の場合、xの定義域は【0を除いたすべての実数】で
(1)を拡張して、f(x)=x^a=1/(x^(-a))と定義されます。---(2)
この段階で、定義域に0を含めると、矛盾が生じますので定義域から除いてあります。

a=0の場合、xの定義域は【0を除いたすべての実数】で、x^0=1と定義します。---(3)
したがって、0^0は定義から外してあります。

次の拡張として、(1)(2)から、nを自然数としてa=1/nと表される場合に、
xの定義域を【正の実数全体(0,負数を含まない！)】に限定して
f(x)=x^aと定義されます。説明は上記本を参照願います。---(4)

次の拡張として、(4)から、nを自然数としてa=-(1/n)と表される場合に、
xの定義域を【正の実数全体(0,負数を含まない！)】に限定して、
f(x)=x^a=1/(a^(1/n)と定義されます。---(5)

次の拡張として、(1)(2)(3)(4)(5)から、nを自然数,mを整数としてa=m/nと表される場合に、
f(x)=x^a=(x^m))^(1/n)と定義されます。---(4)
拡張するとき、xの定義域は【正の実数全体(0,負数を含まない！)】に限定されます。

以下、aを任意の正実数、任意の実数、複素数という順で拡張していきます。

---
高木『解析概論』p240には、つぎのように書いてあります。
一般のべき　z^a（z≠0、aは任意の複素数）

補足

j536様、再度の御回答有り難う御座います。
返事がかなり遅れました事をお詫びします。

＞下記にとらわれず、矛盾しなければ自由に定義しても一向に構わないと思います。
＞回答を自信なしにしたのは、絶対ではないという意味です。

確かにおっしゃる事は分かりますが、矛盾しない事を確かめるのもかなり大変ですよね。無矛盾性を考えると
そんなに自由には定義できないでしょうね。

で、御回答の内容ですが、代数的な話から解析の話に跳ぶわけですね。

f(x)=x^1は私の素朴な定義からの拡張では０では定義されていませんがｘ－＞０のとき、x^1－＞０だから、f(0)=0と定めると言う事ですね。かなりの説得力を感じますが、g(x)=ｘ^0もx=0での連続性を考えるとg(0)=1になりそうなので、この部分は弱いような気がします。
代数的な矛盾があるから定義しないということになるのでしょうが。

回答No.11

thetas

＜疑問点＞
＃１の補足で
＞ａのｎ乗とはｎ個のａを掛け合わせて得られる数の事である。
とありますので、ここで逆に質問をします。

では、ａのｎ倍とはどのような定義でしょうか？

＜以下、本題＞
ちょっと、遠まわしな言い方でしたので、直球で言います。
「ａの１倍」はａ（定義）
と同様に
「ａの１乗」はａ（定義）
と認識されてはいかがでしょう。

なお、
「０や負の整数の指数」について、
旧カリキュラムの黄チャート（数２）と呼ばれる参考書では、
「ａの１乗はａとする」という意味の記述があります。

＜追記＞
とはいえ、数学で考えられたことが、感覚的に合わないっていうことは
よくあることではないでしょうか。

補足

thetasさん、御回答有り難う御座います。返事がかなり遅れた事をお詫びします。

＞「ａの１乗」はａ（定義）
＞と認識されてはいかがでしょう。

何故、そのように考えて良いのかをお聞きしたいのですが。それに、高校の参考書レベルでは、厳密な議論
（一応、それを目指しているのですが)には
耐えられないと思います。

他の方にも聞いた(そして、答えてもらえなかった)
のですが、ａの範囲はどうなっていますか。

回答No.10

sanori

追加質問をいただいたので回答します。

＞sanoriさん、御回答有り難う御座います。
＞初めて見る定義ですが、出典を教えて下さい。

出典は、文献ではなくて、卒業した学校の数学の先生です。（笑）

・・・私って、本を読むのが好きじゃないんですよ。人生の中で完読した本の冊数は、指だけで数えられるかも。（そのくせして、色々な質問に回答しまくっている私って．．．！？）

独り言はさておいて。
なお、この説明（１×ｎ×ｎ×・・・）は、「０の０乗」に関しては、うまくいかないと考えます。

補足

sanori様、再度の御回答有り難う御座います。返事がかなり遅れた事をお詫びします。

私見ですが御提示の定義は妥当性に欠けるような気がします。

何故、１を持ち出すかも分かりませんし。
定義と言うよりは、単なる計算方法の説明
のように見えます。

回答No.9

jmh

３×５は、５を３回足す（５＋５＋５）だったような気がします。０×５、５を０回足す？と＝０なのは何んでですか？

補足

ご指摘がありましたように、質問の趣旨がうまく伝わっていない部分がありますので、この場を借りて補足
します。

質問の趣旨は「0^1と言うものは存在するか、
もし存在するならそれは何者で、その値は幾つか？」
と言う事です。

当然ながら、存在しないものに対して何を言っても無意味で、従って、0^1の正体を明確にしてもらえるような解答を望んでいたのですが、
残念ながらまだ明確にはなっていないようです。

jmhさん、御回答有り難う御座います。返事が遅れた事をお詫びします。

べき乗を乗算からの形式的類似性で捉えようとしているようですが、私には、その方針があまり納得できません。