離散数学と言う授業で

質問

出された問題なのですが、解けなくて困っています。
(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})を満たす自然数x,y,zの全ての組を求めよ。
x=1のとき、(x^{y})^{z}=1,　x^({y}^{z})=1　
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
z=1のとき、(x^{y})^{z}=x^{y}, x^({y}^{z})=x^{y}
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
y=z=2のとき、(x^{y})^{z}=x^{4}, x^({y}^{z})=x^{4}
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
ここまでは分かりました。以上は十分条件で、必要十分条件まで考えて求めなきゃだめらしくて・・。対数とか使うらしいです。誰か教えてください。

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

>それで必要十分条件になるんですか。

対数を取る作業は必要十分です。つまり、(1)⇔(3)であり(2)⇔(4)です。
(5)は(3)(4)から条件に従い変形しただけなので、(5)を考えれば必要十分です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

補足。
対数を取るところで、実際には底はなんでも良いのですが、普通は回答のようにeを底とする対数（自然対数）を使います。
底a,真数bの対数をlog_a(b)と書くとします。
(1)(2)式から定義通りに対数に直すと、
(x^{y})^{z}=x^{yz} ですから
(1)　x^{yz} =a から log_x(a)=yz (3)'
(2)　x^{v}=b から　log_x(b)=v=y^z (4)'
となります。あとは同じですね。

お礼

そう考えると少し楽ですね。ありがとうございます。

回答No.2

hinebot

x^{y}は、ｘのｙ乗、つまり^{}は指数のつもりなんですよね。
その前提ですが、
まぎらわしいので、仮にx^{y}=u, y^{z}=v　とし、
(x^{y})^{z}=u^{z}=a ---(1)
x^({y}^{z})=x^{v}=b ---(2)
とおきます。(1),(2)において対数をとると(底はe、以下省略）
log(a)=log(u^{z})=zlog(u)=zlog(x^{y})=yzlog(x) ---(3) (左辺と右辺ひっくり返してます。）
log(b)=log(x^{v})=vlog(x)=y^{z}log(x) ---(4)
今、a=bですから、log(a)=log(b) なので(3),(4)より
yzlog(x)=y^{z}log(x) ---(5)
ここで、x=1のときは、
>x=1のとき、(x^{y})^{z}=1,　x^({y}^{z})=1　
>したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
でOK。
x≠1のとき、log(x)≠0 なので、(5)の両辺をlog(x)で割って
yz=y^{z} が得られます。
これを満たすy,zの組を考えればz=1(yは任意）とy=z=2のときしかないことが分かります。
a=bから(5)式を導くことにより、必要十分条件になっているはずです。

※多分、これでよいと思いますが。

お礼

それで必要十分条件になるんですか。よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#108554

{y}というのはどういう演算ですか？

補足

x^{y}はxのy乗ってことです。