円推の面積

質問

全国学力統一テストの数学Aに出題されていた、
問題について、
底面の面積が同じ円柱と円錐を比較すると、
答えが、円錐の三倍になるって、問題。
昔、習ったから、3倍って出てくるけど、
簡単に説明する方法はないのでしょうか？

ネットで調べて、
http://www7a.biglobe.ne.jp/~watmas/masaru-rep/cavalieri.html
を見つけたのですが、
余計に頭が痛くなります。

すいませんが、分かりやすく説明をしてください。
お願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

面積ではなく、体積ですね。

実は、積分を使うのが、最も簡単な説明になります。
私も若かりし頃、それに気づいて、目から鱗でした。

円柱、円錐の底面積をＳ、高さをｈと置きます。
高さ方向の座標をｘと置きます。

まず、円柱から。

円柱を輪切りにして、非常に薄い円盤の集合体と見なします。
１枚１枚の円盤は、底面積Ｓ、厚さｄｘの非常に低い円柱ですから、体積はＳ・ｄｘです。
上端をスタート地点（ｘ＝０）、下端をゴール地点（ｘ＝ｈ）とします。
ｘ＝０からｘ＝ｈまでの円盤の体積を全部足し算（積分）すれば、円柱の体積になります。
円柱の体積　＝　∫Ｓ・ｄｘ　（ｘ＝０→ｈ）
ここでＳは定数なので、
円柱の体積　＝　Ｓ∫ｄｘ　（ｘ＝０→ｈ）
＝　Ｓ（ｈ－０）　＝　Ｓｈ

以上、単に　底面積×高さ　で求めればよいところ、わざわざ積分を使ったことには意味があります。

次に、円錐をやってみます。
やはり、輪切りにしますが、１枚１枚の円盤の半径が異なります。
頂点から底面に向かうにつれて円盤の面積が大きくなります。
頂点をスタート地点（ｘ＝０）、ゴール地点（ｘ＝ｈ）としますと、
円盤の面積は、頂点からの距離ｘの二次関数になります。

円盤の面積ｓ　＝ 定数・ｘ^2

ｘ＝ｈのときｓ＝Ｓにならないといけないので、
Ｓ＝定数・ｈ^2
したがって、
定数＝Ｓ／ｈ^2
これを前の式に代入すると、

円盤の面積ｓ　＝ Ｓ・ｘ^2／ｈ^2
となります。
円盤の厚さはｄｘなので、

円盤の体積　＝　Ｓ・ｘ^2／ｈ^2・ｄｘ

これを、ｘ＝０からｘ＝ｈまで全部足し算（積分）すれば、円錐の面積になります。

円錐の体積　＝　∫Ｓ・ｘ^2／ｈ^2・ｄｘ　（ｘ＝０→ｈ）

Ｓとｈは定数なので、

円錐の体積　＝　Ｓ／ｈ^2・∫ｘ^2・ｄｘ　（ｘ＝０→ｈ）

∫ｘ^2・ｄｘ　＝　ｘ^3／３　なので、
（逆に言えば、ｘ^3／３　の微分は　ｘ^2　なので）

円錐の体積　＝　Ｓ／ｈ^2・（ｈ^3／３ － ０／３）
＝　Ｓｈ／３

２乗を積分すれば、３乗になる代わりに÷３が付くところがポイントでした。

この考え方は、角錐に対しても全く同様に適用できます。

お礼

エクセルで無理やり解く、ヒントになりました。
ありがとうございます。

回答No.6

hermite

話が複雑になりそうなので質問者さんに聞きたいのですが、これは、円錐の体積が円柱の体積の1/3になることを説明する問題だったのですか？
それとも、単に問題の解答をするにあたってこの知識が必要だっただけで、昔から使っていた「3倍」というところに疑問を抱かれて質問されているのですか？

お礼

みなさん、ありがとう。
積分もろくに理解できないので、
エクセル使いとして、無理やり、証明しました。
半径5の円を底面に高さ10の円推について、考えました。
セルA1に、=10-0.0025*(ROW(A1)-1)
セルB1に、=PI()*((A1/2)^2)*0.0025
という数式を入力して、
セルA4000、セルB4000までそれぞれ、オートフィルで、
式をコピーします。
それで、セルB1からセルB4000まで合計すると、
値が、261.8976となる。
また、5×5×π×10÷3を、エクセルの数式で
=PI()*5*5*10/3として、計算して、
261.7994になり、ほぼ、等しいことが分かりました。
A列には、底面と平行に切った円の直径。
B列は、0.0025ごとに、薄く切った体積（近似値として円柱と考える）。

補足

>単に問題の解答をするにあたってこの知識が必要だっただけで、昔から使っていた「3倍」というところに疑問を抱かれて質問されているのですか？

昔、3倍という所を、丸暗記で覚えなさいって、言われたような気がします。
それで、テストの答案を見まして、理由も分からず、間違って暗記してしまった人に、どう説明すれば、いいと思ったわけです。
いまだに、自分も分からない訳ですし。

回答No.5

kkkk2222

＞＞数学Aに出題されていた
＞＞円錐

＃１　これは、＜証明せよ＞ではないはずです。
＃２　おそらくは、＜あなたは、どう考え（説明し）ますか？。＞のはずです。
＃３　＜円錐＞ではなく、＜正円錐では＞
　　　　まあ、＜円錐＞は＜正円錐＞の意味で使用されますが。

それにしも＜掟破り＞の出題です。

＃１　は　如何に工夫しても、高2の積分の問題に帰着します。

＃２　は小学校で実際に行われる、＜容器に水を入れて＞3倍になる考え方です。

＃２　のひとつの説明として、

＊（あまり知られていませんが）立方体を上手く、三等分すると合同な3個の角錐になります。
＊この角錐は底面が直角二等辺三角形で、高さが立方体の辺（稜）と等しくなります。
＊この空間図形は、中学校の教材として販売されています。
＊作れることが、わかっていれば買わなくても画用紙で意外に楽につくれます。
＊立方体の場合は（ほぼ）証明でしょう。
＊上記の3等分された角錐から底面を変形し頂点も調節して、底面が正多面体の正多角錐への説明に移行します。
＊正多面体の＜極限＞として底面が円となり、正多角錐は正円錐となります。
＊極限の概念が入るので、証明にはなりません。
＊他の説明でも＜極限、積分の概念＞が必要です。
ーーー

お礼

立方体をうまく三等分すると、
合同な３つの角錐になるというのは、初耳です。

自分は、そういった教材を使ったことが無いので、
こういった教材を使っていたら、
納得いかないまでも、印象に残りやすいきあもしれませんね。

回答No.4

Quattro99

四角錐の体積を習ったとき立方体を同じ形の3つの四角錐に分割することで立方体（四角柱）の体積の1/3だというようにやったと思います。ここからどうやって任意の四角錐について拡張したのか覚えていませんが、難しい計算をして（おそらく積分のこと）どういう四角錐もそうなることがわかっていると習ったような気がします。三角錐は四角錐を半分にしたと考えれば同様にその体積は三角柱の1/3だと考えて良さそうです（これももちろん積分で確かめられているのでしょうけど）。
頂点が底面の円の中心の真上にあるような円錐は、円の面積をやったときと同様に細かく分割して三角錐の集まりと考えるとその体積の合計は円柱の体積の1/3ということになります。
任意の円錐について考えるには積分で考えるしかないのかなと思います。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.2

toranekosan222

円錐の場合、高さに対する断面積がひろがり具合を角度xとすると
tan(x)*hの半径を持つ円になる。　
なので、体積はπ＊（tan(x)*h）*(tan(x)*h)となる。

これをΔh分だけ増えたとすると、
微小増加体積は
π＊（tan(x)*h）*(tan(x)*h)*Δh=π(tan(x)*tan(x))h^2*Δh
となる。これをhにたいして積分すると

1/3π(tan(x)*tan(x))h^3

となる。

体積を高さで微分すると円の体積が出てくる。

なぜ1/3になるかというと、体積が高さの3乗に比例し、面積が高さの2乗に比例しているからというのが答である。

ちなみに高さでなく、任意のパラメータで断面の面積が2乗で、体積が3乗とあらわされるのならば、面積＊1/3＊パラメータとなる。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.1

hermite

主語がないもので、ちょっと不安だったりしますが体積についてですよね？

積分でもって体積を実際に計算すれば、説明することができます。
位置xにおける断面積Sを求め、高さの範囲で積分すればいいです。

高さをh、底面の半径をrとすると、位置x（0<=x<=h）における断面の半径Rは、相似形より
　　　(h-x):h = R:r
R = r(h-x)^2/h
であり、断面積は
　　　S = πR^2
となります。これより、
　　　V = ∫(0,h)(S)dx
を計算すると、
　　　V = πr^2h/3
となり、円柱の体積と比較すれば明らかに1/3になってます。

また、あくまで簡単に説明するというのであれば（こっちは証明というよりかまさに実現してみる方法です）、正確に高さと底面積をそろえた円錐と円柱を用意し（これが実はきびしい）、円錐の内部に水などを入れて、それを円柱のものに移せば目で見てわかります。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

補足

すいません、体積でした。