サッカーの勝ち点の場合の数

質問

今回のワールドカップの問題を出されたのですがわかりません。４チーム１グループで総当たり戦勝てば勝ち点３，引き分けで両チームに勝ち点１なのですがこの場合の勝ち点は全部で何通りになるんでしょうか。（９，６，３，０），（９，６，１，１）と数える方法でなくて数学的に解く方法を教えてください。

回答No.2

nozomi500

「数える」ってのも、りっぱに数学だとは思いますが。

「表」をつくって、○△×をつけたらどうでしょう。たとえば、

　　日　べ　ロ　チ

日　・　△　○　○

べ　△　・　○　△

ロ　●　●　・　○

チ　●　△　●　・

計算しやすいように、○はすべて、「上」につける。
勝ち星が違うのに、勝ち点が同じになるケースは、「３引き分け」と「１勝２敗」がそれぞれ「３」になる場合のみ。（同じリーグでは起こり得ないけど）

まず、総勝ち点は、最高で18。これの分け方は、１通り（引き分けなし）。
順位どおりに○がならぶ。順位は４！で２４通り。

総勝ち点が17（引き分け1試合）の場合、△をひとつ（上半分しかみない）つける。３チームにつく可能性があるから、３通り。

同じく16（引き分け２試合）の場合、△２つ。

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って考えていっては？

計算が面倒なのであとはやって。

お礼

35通りになりました。ありがとうございます。でも，合ってるのかな？

回答No.1

toka

この場合の数学的って、場合分けを使うって事なんでしょうね。なら、勝ち数に応じて考えるって事でしょうか。

（１）３勝の場合：９点
（２）２勝の場合：残り１試合が引分－７点、負け－６点
（３）１勝の場合：残り２試合が（分分）－５点、（分負）－４点、（負負）－３点
（４）０勝の場合：残り３試合が（分分分）－３点、（分分負）－２点、（分負負）－１点、（負負負）－０点

これで全部ですよね？というわけで、（９、７、６、５、４、３、２、１、０）の９通りが正解でしょうか？

感覚的には、これでも「数えてんじゃん」かも知れませんが、理屈はこれで合ってると思います。

補足

説明が下手ですみません。たとえばＡチームが３勝，Ｂチームが２勝，Ｃチームが１勝，Ｄチームが０勝だと勝ち点は（９，６，３，０）になりますよね，これで，１通りとなります。あと，２日ぐらいで解かないといけないので，よろしくおねがいします。