エディントンのイプシロンについて

質問

エディントンのイプシロンを用いた公式について質問があります．

自分は普段なんとなくで
ε_ijk×ε_lmk = δ_il×δ_jm - δ_im×δ_jl
という公式を使っていたのですが，
「そういえばこの式ってどうやって導くのだろう？」
と思い，まず自分で考えたのですがうまくいかず，
インターネットで検索しても「こういう公式があるよ」としか書いてあるページがみつかりませんでした．
手持ちの書籍ももちろん調べましたが，それも同様でした．
どなたか，ご教授願えないでしょうか？

参考URL（このページの「二つのエディントンのイプシロンの添字について縮約すると以下の式が得られる。」と書いてある行の真下にある公式です．）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

Eddingtonのイプシロンは別名Levi-Civitaの記号とも呼ばれていますね。ご質問の導出は参考URLに詳しく載っていますので参照してみてください。

http://www12.plala.or.jp/ksp/lib/Levi-Civita.pdf

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/lib/Levi-Civita.pdf

お礼

まさにドンピシャリな文献を教えていただき，ありがとうございます．
とても親切に書かれており，わかりやすかったです．

回答No.1

eatern27

以下の点を順に確認してみましょう。

１．i=jの時、ε_ijk×ε_lmk＝０である。同様にl=mの時もゼロ。
２．(i,j)=(l,m)or(i,j)=(m,l)でなければ、(任意のkについて)ε_ijkかε_lmkのどっちかが必ずゼロになる。(従って、ε_ijk×ε_lmk＝0である)
３．(i,j)=(l,m)の時、ε_ijk×ε_lmk＝１
４．(i,j)=(m,l)の時、ε_ijk×ε_lmk＝－１

５．上の１～４において、「ε_ijk×ε_lmk」を「δ_il×δ_jm - δ_im×δ_jl」で置き換えても同じ主張が成り立つ。

お礼

確かに，このように場合わけすれば証明できるんですね．
お返事ありがとうございます！