次の因数分解のやり方を

質問

高校の問題集にあったのですが、現役の時、とうとう
解けませんでした。どなたか詳しい解法を教えて下さい。

　2a(2乗)-ab-6b(2乗)-11a-13b+5

なお、問題集の解答は
(a-2b-5)(2a+3b-1)
です。

よろしくお願い致します。

回答No.1

kunicci · ベストアンサー

私はまずはじめに2a^2-ab-6b^2を因数分解しますね。a^2はaの２乗を意味します。
すると、
2a^2-ab-6b^2=(a-2b)(2a+3b)となります。
上よりはじめの式は、
(a-2b)(2a+3b)-11a-13b+5になりますね。
ここで定数項の５に着目します。
定数項が５ということは(a-2b)(2a+3b)にかけて+5になる数、組み合わせとしては(1,5)(-1,-5)のいずれかが入ることになります。
ここで-11a-13bを考えます。
この後は試行錯誤してやります。この場合最大でも４通りですから比較的楽ですね。
すると答えが出るというわけです。
日本語が下手で申し訳ありません。

お礼

ありがとうございます。＃２の方も含め、お礼が遅くなり
申し訳ありませんでした。

補足

皆さん「解答」を下さっていますので、ポイントは
投稿の早い順ということでお許しください。

回答No.4

oshiete_goo

筆者は基本的には No.1 kunicci氏の方向で解きます.
もちろん, このぐらいなら組み合わせが非常に限られているので試行錯誤で十分でしょうが, もう少し複雑な場合も想定して演習してみると,

2a^2-ab-6b^2-11a-13b+5
=(2a+3b)(a-2b)-11a-13b+5 (まずa,bについて2次の項を因数分解)
これが (2a+3b+p)(a-2b+q) の形に因数分解される条件を考えると(p,qは定数)

aの係数・・・ p+2q=-11 ・・・（１）
bの係数・・・ -2p+3q=-13 ・・・（２）
定数項・・・ pq=5 ・・・（３)

この3式のうち都合のよい2式を解けば，(もともと因数分解可能な問題ならば)必ず解けて，残りの式も満たされる(検算になる)．
今の場合は（３）と（１）より（p,q)=(-1,-5) はすぐわかりますが，別の問題では（１）と（２）の連立1次方程式を解く方が良い場合もありえます．（積の組み合わせが多い時．このときも連立1次方程式なら1組だけ求まる．）

お礼

大変判り易い説明ありがとうございました。

回答No.3

sankonorei

この因数分解は公式にあてはまるといったものではありませんが、着目の仕方でより簡単なものだということがわかります。まず、aと定数項を見ると、おや、
２ａ＾２－１１ａ＋５＝（２ａ　　－１）（ａ　　－５）となるのがわかります。あとは　
－６ｂ＾２－ａｂ－１３ｂを上式を利用できるかどうかだけなのです。すると－６ｂ＾２を＋３ｂ、－２ｂに分けてどちらにいれるかだけの判断です。すると
（２ａ＋３ｂ－１）（ａ－２ｂ－５）という解答が得られます。詳しくはありませんが因数分解をどれだけこなしたかという、所謂「なれ」です。

お礼

なれ、ですね。
随分現役の時はやったと自負していたのですが、
やはりａ、ｂと２乗が２つ出てくるとどうしても
こわくなってきて、sankonoreiさんの
ような視点に立てなくなってしまいます。

回答No.2

ADEMU

このやり方は邪道ですが、必ず因数分解できるとわかっている場合、便利です。
まず、ａについて注目します。すると式は以下の通りに変形できます。
２ａ＾２－（ｂ＋１１）ａ－（６ｂ＾２＋１３ｂ－５）
また、
６ｂ＾２＋１３ｂ－５＝（２ｂ＋５）（３ｂ－１）・・・（１）
となります。
最初の式は必ず
２Ｘ＾２－ＡＸ－Ｂ＝（２Ｘ－α）（Ｘ－β）となります。
α、βが２ｂ＋５か３ｂ－１でしょうから
計算すれば
＝(a-2b-5)(2a+3b-1) となります。
でもこれはあくまでも邪道です。
ちなみに（１）は解の式から計算できます。

お礼

ありがとうございます。