２次元フーーリエ図教えてください。

質問

私は、AFMの研究をやっている者です。AFM像をFFT（２次元高速フーリエ変換）処理し、結晶格子のスペクトルを表した基本周期性特性図にプロットするみたいですけど、この周期性特性図は何を意味してるんですか？例えば、グラファイトのAFM像をFFT処理すると２つの六角形の点がずれてでるのですが、この六角形は何を意味しているのですか？まだまだ、フーリエについて勉強不足なので、詳しく載っているサイトをおしていただけたら、嬉しいです。

回答No.1

bipolaron · ベストアンサー

お久しぶりです。研究頑張っていろいろと試されているようですね。頑張ってください。さて、FFTについて詳しく載っているサイトは存じませんし、教科書にも載っていないものなので、これは初めて見ると面食らいますよねえ。

電子顕微鏡の回折図形はご存知ですか？それと同じです。
電子顕微鏡で原子像が観察されている図を見たことがありませんか？それと一緒にその領域の電子線回折も載っているでしょう。電子顕微鏡の学問では、昔から電子顕微鏡で得られた原子像をスキャナーで読み込み、それにFFTをかけると電子線回折と同じスポットパターンが得られることを利用してこのような方法を開発してきました。AFMについているFFTのプログラムはそっくりそのままそれを利用しただけです。

どうしてこのようなスポットパターンが得られるのかを理解するためには、電子線回折が何故起こるかを理解するのが一番の早道ではないかなと思います。固体物理の教科書等に逆格子空間や回折の基礎が載っているかと思うのですが、ここは基礎の基礎で全ての次元で議論されているので、手っ取り早く、二次元だけで理解されるのがよろしいかと・・・。電顕をやっている友達がいれば手っ取り早くFFTに関する説明をしてくれると思います。

さて、これがどのように便利かといいますと、同じ一つの原子パターンからは一つの回折パターンが得られます。よって二種類の回折パターンが混じって得られる場合、像の中（電子顕微鏡像の場合は電子線があたっている中）に二種類の原子並びの領域があることを証明しているわけです。このFFTのスポットの一種類だけを選び（ソフトにそういう機能がついているはづ）もう一回FFTをかけると（逆フーリエ）もう一度像が再現されます。そのときには像内で選んだ回折パターンがあった場所にだけ原子の並びのパターンが得られます。これを利用して電子顕微鏡像では像内での異なる配向性のグレインを像内にて見分けたり出来ます。
STM、AFMの学問では一般的にはあまり多用されてませんが、中心からスポットのあたりまで、もしくはスポット周りだけを選んで逆フーリエをかけるとノイズがなくなることを利用したノイズ削除の例が一番多いですね。スポットから原子間隔を逆算したり（これは電顕では非常に有用ですがSPM像では誤差が大きく物理的意味は非常に小さいです。）、原子並びの角度差を測る例等も論文で見たことがあります。しかしながらこのFFT法を使いこなしているSPM研究者は少ないです。
完璧なグラファイトの原子像なら一種類しかあらわれません。二種類あるということは、像の取得中にドリフト速度等が変って、上と下で原子がずれて見えていませんか？それと本来なら正六角形になるはずなんですがちょっとゆがんでいませんか？これは像自体がドリフトかピエゾの特性でゆがんでいるせいです。もし原子像にノイズが被さっていたら、それも違うパターンのスポットとして現れますので、そしたら原子のスポットだけ選んで逆フーリエかけることでノイズ除去が出来ます。つまり領域ごとに分けるだけでなく、像内で重なった異なるパターンも分けられるのです。
あと、素晴らしく美しい原子像は素晴らしく小さなスポットとなって現れます。つまりスポットの大きさは像の規則性をも反映しています。FFTとは、実空間像の逆空間を見られる物なんです。

お礼

ありがとうございます。FFTって思ったより難しいですね。
電子顕微鏡の回折図形を勉強したいと思います。