微分して解をもつとはどういう意味か？

質問

点連続、接線連続、曲率連続、曲率微分連続とあるなかで、

それぞれ微分して解があれば、下にいくということですが、

微分して解を持つとはどういう意味か教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

ANo.1です。
間違いがありましたので訂正します。

【誤】　lim( x → x0 + 0 ) = lim( x = x0 - 0 )
【正】　lim[ x → x0 + 0 ] f(x) = lim [ x → x0 - 0 ) f(x)

「微分して解を持つとはどういう意味か」
解というのは、「式1 = 式2 に解はあるか」というときに問われることですので、「微分して解を持つかどうか」というのは、「 式1 に解はあるか」ということになって意味をなしません。

設問は関数の連続性を問題視しているようですので、「y = f(x) を x で微分したとき、f'(x) は連続か」ということだと思います。f'(x) が連続とは、f'(x)が定義されるすべての x0 の範囲内で、lim[ x → x0 + 0 ] f'(x) = lim [ x → x0 - 0 ] f'(x) が成り立つことです。

補足

ありがとうございます。

そもそも微分するとはどういうことは何を求めているということなのでしょうか？

微分して解をもつからどうだということではなく
微分した式がlim [ x → x0 - 0 ] f'(x) が成り立つかどうか

ということでしょうか？

回答No.1

inara

＞下にいくということですが
「下にいく」というのは、たぶんこういう意味ですね。
　 Start
　　↓
「点連続？」(No) →終り
　　↓(Yes)
「接線連続？」(No) →終り
　　↓(Yes)
「曲率連続？」(No) →終り
　　↓(Yes)
「曲率微分連続？」(No) →終り
　　↓(Yes)
　何かの処理
　　↓
　　END

「それぞれ微分して解があれば」という表現も気になりますが、上のフローチャートの意味だと解釈することにします。

「点連続」とは値の飛びがないということです（連続関数）。これ以降、y = f(x) と書きますが、点連続とは lim( x → x0 + 0 ) = lim( x = x0 - 0 )が、（関数f(x)の定義域内の）全ての x0 で成り立つということです（-0 とは負側から近づき、+0 は正側から近づくという意味）。ステップ関数のようなのは値が飛びますので下には進めません。y = tan(x) も、x = n*π/2 (nは整数）で非連続なので「点連続？」はNoになるでしょう。

三角波のようなのは連続していますので下にいけますが、微分係数が連続でないので、「接線連続？」の分岐はNoになるでしょう（接線でなく f(x) を ｘ で微分した df/dx が連続という意味だと思います）。レムニスケートのように、曲線が交差するようなもの（多価関数）も、微分係数が１通りに決まらないのでNoでしょう。

曲率は、-d^2f/dx^2 / { 1+(df/dx)^2 }^(3/2) で定義されますので、これが連続かどうかという意味です（ d^2f/dx^2 は f(x) の２回微分）。df/dx の連続性については、上の「接線連続？」でYesでしたし、分母がゼロになることもありません。したがって「曲率連続？」とは d^2f/dx^2 が連続かどうかという意味です。

最後の「曲率連続？」は、上の -d^2f/dx^2 / [ { 1+(df/dx)^2 }*√{1 + (df/dx)^2 } ] を x で微分したものが連続かということです。面倒なので計算しませんが、f(x) の３回微分が連続か？という意味でしょう。

y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... は最後までいきます。次数が低い場合（ y = a0, y= a0 +a1*x など）、フローチャートの途中で、微分してゼロになるかもしれませんが、ゼロも数値としては連続です。ゼロは何度微分してもゼロですので、それから下はずっとYesです。