30分の1秒とは

質問

何かを表示する時に30分の1秒で表示するとして
例えば3秒たつと90分の3秒になりますが小数点になおすと
2.97秒になり誤差がうまれますが、どうして30分の1秒で考えると
誤差がうまれないのでしょうか？？
3秒たつときに小数点で考えれば0.999×３で計算しますが
30分の1秒を無理やり小数点で考えると30個の中のどれかが0.034
になり0.9999秒にはならず、ぴったり1秒になっているから分数で
考えれば秒数がいくらたっても誤差は出ないと言う事でしょうか？？

小学生の様な質問ですが回答して頂けると非常にありがたいです。

回答No.17

Ama430 · ベストアンサー

＞無限小数について非常に良く分かりました。

こう言っていただけるだけで、レスした甲斐があったと思います。

＞0.9999999998秒は数学的に1秒と同じだと考えられているのですか？？

いいえ、別の数です。
どんなにケタ数が多くても、小数に「終わり」があれば(有限小数)、整数とは別の数です。

＞実数の定義などで考えられば0.99999998秒は0.99999999秒と0.999999997秒と同じ秒数だと言う事にはなりますね。

数学上は別物です。
数学の世界は、ひとつの「理想世界」だとお考え下さい。

現実には、「ほぼ同じ」で済ますことができるわずかな差でも、例えば１億倍したら、大きな差が生じますね。
これに対して、0.9999…と1は、１億倍しても１兆倍しても、同じ結果が得られるのです。

数学では、数量に対してさまざまな「操作」を加えます。

一番初歩的な「操作」は加減乗除ですが、それらから出発して、どんな「操作」でも同じ結果が得られるとき、見かけがちがっていても、「同じ数」と見るのが数学の立場です。

逆に、見かけがどんなに似ていても、極端な「操作」(１億倍とか)に耐えられない数は「別物」なのです。

このサイトは、ていねいなレスが多いので、素晴らしいと思いますが、それでも、回答に対してお礼もなく、ポイントもつけず、締め切りもしない、というようなマナー違反はしばしば見かけます。

そういうものを期待しているわけではありませんから、別にそのこと自体は気にしていません。
が、やはり、hiroyuki0089さんのような、根気があり、ていねいなお礼と、何より具体的な再質問のつく方を見かけると、「素晴らしい」と感じないわけにはいきません。

質問を締め切るかどうかですが、個人的には「どちらでも」というスタンスです。

私は質問者の都合に合わせて締め切ればよいと考える者ですが、他の回答者の方の御意見があれば、参考にしていただくという方法もあると思います。

ただ、数学カテゴリーはそれほど細かくチェックしているわけではないので、その場合には、見落とす可能性があるということをあらかじめお断りしておきたいと思います。

お礼

ありがとうございます。

その様に言っていただき感謝しています（^^）
今回も「極端の操作に耐えられない数は別物」
と言うのは非常に良く分かりました。
やはり１と0.999・・・は１億倍など、どんな数をかけても
同じ結果が得られますし１と0.999・・・の様に同じ結果が得られれ
ば同じ数と考えられますもんね。

また質問したい事が出来たのですが今回は1度、締め切ってから
また質問させて頂きます。
他の回答者様の御意見もあるかもしれないので
1週間程たってから締め切りたいと思います。

Ama430様には非常にお世話になりました。
感謝しています。
本当にありがとうございました。

回答No.16

tekcycle

１÷３＝0.33333333・・・・・・・・・・・・・
の時点で既に区切りはないのです。
だから区切りをつけてはいけません。
どうしても区切るのなら、
１÷３＝0.333＋0.001／３
として後の計算をするとか。

あるいは、有効桁数という考え方があります。
循環小数に限ったことではありませんが、たとえば10cm四方の紙をはさみで楯に１／３に切ろう、という場合、はさみで切るくらいですから精度はたかが知れています。
なのに百万分の１の精度で計算してみても無意味なのです。
0.1mmくらいなら何とか制御できるとすると、せいぜい小数点３桁まで出しておけば十分だということになります。
これがもっと精度が必要な話だと、更に小数点何桁まで計算、ということになるでしょう。
計算の仕方も、0.333mm×0.333秒のような計算をするより、元の1/3×1/3から計算し直した方がずっと良いとは言えます。
精度を上げたければ精度が上がるような計算の仕方をすればよいのです。
わざわざ余りを無視したり無限小数であることを無視して精度を落とすような計算をする必要はないのです。
１÷３×６を0.33333×２と計算せずに、１×６÷３で、６÷３と計算すればそれだけで精度が上がります。
例えば0.333が他人の提供データで元の式が判らない場合は、その桁数で十分な精度が得られるかどうか考えることになるでしょう。

これでも納得が行かないなら、分数式にもできない、元の式も判らない、有効桁数を考えるのではなく厳密な値が必要だ、という実例があれば出してみてください。

お礼

ありがとうございます。

有効桁数と言うのは参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.15

Ama430

無限は直観的に理解しにくいですね。

＞ある程度区切りをつけなければ
0.0333…×60の答えは出ませんし

区切りをつけずに答を出すのが「無限」の世界のひとつの顔です。

＞0.0333…×60＝1.99…8

これは正しくありません。

0.0333…3×60＝1.99…8
ということなら成り立ちます。
0.0333…×60＝1.99…
とのちがいは「終わりがあるかないか」ということです。

「どこまで計算しても後ろのケタから繰り上がりがある」ので、「8」が絶対に登場しないし、それどころか、終わりもありません。

ですから、
1.9998＞1.999
1.999998＞1.99999
1.999999998＞1.99999999
1.99999999998＞1.9999999999
1.99999999999998＞1.9999999999999
というように、かけられる数を
0.033333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…
に近づけるほど、必ず1.99…9より２に近い値を決定することができます。

逆に、２との「差」を計算すると
２－1.9998＝0.0002
２－1.999998＝0.000002
２－1.99999998＝0.00000002
２－1.9999999998＝0.0000000002
２－1.999999999998＝0.000000000002
２－1.99999999999998＝0.00000000000002
というように、ケタが増えるほど、０に近づくので、
「どこまでも9が続くなら小数点以下の0がどこまでも続き、答に2は絶対出ない」ので、「２との差は０と同じ」という結論が得られます。

「30分の1」は１０進法ではこのような「無限」を持ち込まないと表現できません。
しかし、これはあくまで「表現」であり、１秒を等しく３０分割することは、数学上は可能です。

ただし、実際の場面では厳密に考えるならば「誤差」はつきものです。

ビデオについては専門家ではありませんが、現在の電子機器の時間管理は、すべて、「水晶発振」という方法で行われています。

安物の機械でも、１秒間に３万回以上の振動数があり、このような細かさで、１フレームめは0.0333…秒に最も近い振動数で、２フレームめは0.0666…秒に最も近い振動数で、３フレームめは0.0999…秒(つまり0.1秒)に最も近い振動数で、というように振動数を計算して時間を切っています。

業務用の機械では、おそらく、誤差は、数十万分の１秒以下であり、それは掛け算で増える性質のものではないのです。

「およそ0.033…秒」というような書き方があったために、無限小数の説明をしましたが、数学上は「ちょうど0.033…秒」であり、それを機械で扱う場面では、「ちょうど0.033…秒の整数倍」に近い「時刻」でフレームを区切っているということです。

お気軽に再質問してください。

お礼

返事が遅れて申し訳ありません。

回答本当にありがとうございました。
私は今、学生で文系ですが講義に数学も取れるように
なっているので来年とってみたいと思います（^^;）

数学の奥深さと言うか不思議さに興味を持てました
ありがとうございます（^^）

補足

返事が遅くなってしまい申し訳ありません。

なるほど良く分かりました。
例えば0.033…×30の場合、答えは0.999…と無限に進み
区切りがないわけですから0.09998と言う様に8がつく事もないです
から0.9999…と1は同じ数と考えて良んですね。
非常に良く分かりました。
何度も回答して頂き本当にありがとうございます。
無限小数について非常に良く分かりました。
感謝しています。

最後にフレームとは全く関係なしに誤差と言う事で少し気になった
事があるのですが例えば無限小数ではない0.9999999998秒は数学的に
1秒と同じだと考えられているのですか？？
実数の定義などで考えられば0.99999998秒は0.99999999秒と0.999999
997秒と同じ秒数だと言う事にはなりますね。

フレームの0.03333…秒の事は、お陰さまで十分納得出来ましたし
ポイントの問題もありますので本当に気が向いた時に回答して頂けれ
ば十分です。
もし良ければ1度締め切って新しく質問し直しても構いませんので
言ってください。

回答No.14

edomin

＃２です。
「0.0333…×60＝1.99…8になり2の前に1.9999…と言う数字もあり1.999…について無視して良いのか気になりました。」
ん～、やっぱりまだ納得していただいてないみたいですね。
「0.0333…×60＝1.99…8になり」
この部分がすでに違っているのですが。どうしても無限を想像することは無理でしょうか？

ところで、質問者さんは「１／３０分」を「分」を単位にしたときどう感じますか？
0.03333…分なんですが、単位を変えれば「２秒」ですよね。
１０進数では表現しきれない数も見方を変えれば存在するのです。

お礼

なかなか、うまく伝えられず
本当に申し訳ありません。

でも何度も本当にありがとうございます。
また気が向いたり暇な時に回答して頂ければ
本当にありがたいです。

補足

いや、無限と言うのは分かります。
ただ、ある程度区切りをつけなければ
0.0333…×60の答えは出ませんし、それで
あえて0.999…8と言う表現をしているだけで
答えが出ないのは分かっています。

また1.9998…は約せば限りなく２に近いですが
２と1.9998…を同じ数と考えて良いのかが分からないのです。
３と2.99999997…も同じです例えば無限小数の場合は小数点の様に
小数点何位までと区切りがあれば分かりますが1.9998…＝２と考えて
本当に良いのでしょうか？？
（２＝1.99998…ではありませんし３も違いますが表現しやすい
ように答えを変えてしまってますが私も2＝1.99998…ではないのは
分かっているので、そこはお願い致します）

回答No.13

Ama430

質問者の方のガッツには頭が下がります。

数学が苦手な方が納得できない回答を得た場合に、「どうせわからないからいいや」と投げてしまうことが多いと思いますが、粘り強くレスを返していただくおかげで、問題の核心に迫って来つつあるように思います。

＞0.03333…×60＝1.9998
と言う答えになり1.9998は決して２にはなりませんので

0.033×60＝1.98
0.0333×60＝1.998
0.03333×60＝1.9998
0.033333×60＝1.99998
0.0333333×60＝1.999998
0.03333333×60＝1.9999998
0.033333333×60＝1.99999998

このようにかけられる数を
0.033333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…
に近づけるほど、答は２に近づいて行きます。

ですから、かけられる数が「どこまでも」3の続く小数とするなら、答はぴったり２になると考えます。

このように考えると、30分の1と「どこまでも」3の続く
0.033333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…
をまったく同じに扱うことができるのです。

しかし、実際には「どこまでも」3を続けて書くことは不可能です。
数学的には、分数で扱ったり、「…」で表したりします。
が、具体的な応用場面で、桁数の限界のある１０進数しか扱えない場合も多いですね。
そのような場合には、やむなく、「およその値」として、「0.0333」や「0.03333」や「0.0333333」などを必要に応じて使い分けることになります。

ビデオの１フレームの場合は、0.001秒という単位が信号の中にあるのではなく、１秒間に３０回くりかえされる時間の単位が最初にあって、それの整数倍で時間を考えますから、「誤差」は出ないのです。

１フレームを「30分の1秒」と表すのは正確な表現ですが、「0.033秒」とした時点で、すでに別の数(似ているだけ)になってしまっているのです。

こういう言い方は失礼かもしれませんが、やる気のある生徒に教えることができる先生がいたとしたら、その先生は大変幸せなのだと思います。
何度でも、遠慮なく、再質問していただいてかまいませんので、よろしくお願いします。

お礼

本当にありがとうございます。

ここまで真剣に答えて頂いて
こちらこそ感謝の仕様がありません。
何度、お礼をしても足りない気がします。

本当にありがとうございます。
とても感謝しています。

補足

ありがとうございます。

3分の１と0.0333…が全く違う数字だと言う事は
良く分かりました。
0.0333333333…×60の様にかけられる数が増えるほど２に
近づくのも分かりました。

ただ出来れば0.03333…×60＝2になる証明の仕方について具体的に
教えてもらっても良いでしょうか？？
0.0333…×60＝1.99…8になり2の前に1.9999…と言う数字も
あり1.999…について無視して良いのか気になりました。
0.0333…×90と数を増やせば、さらに大きな差が生まれてくると
思いますし。

また1秒間に30回くりかえさらえる時間の整数倍で考えると
言う事は、やはり製作者は1コマ0.033…秒とは規定してはをらず
およそ1コマ0.033…秒で進めていて取りあえず1秒調度に30枚で
構成させるようにしているだけで1コマ0.034だったり0.032秒だった
りするコマも存在しているという事でしょうか？？

本当に何度も回答ありがとうございます。
返事に時間がかかってしまい申し訳ありませんでした。

回答No.12

edomin

またまた、＃２です。
「0.03333…×60＝1.9998」
ここで、
「1.9998」で計算が終わっているのがおかしいのです。
「0.03333…×30=1」
なら、
「0.03333…×30×2=1×2」
になり、
「0.03333…×60=2」
になります。
質問者さんは、どうしても有限小数で計算したいみたいですが、循環小数を有限で計算した結果は全く違ったものです。
「0.03333×60」
と
「0.03333…×60」
は、違う計算であることをまず認識しましょう。

お礼

ありがとうございます。

やはり循環小数を勝手に区切って
有限小数に直すから問題があるんですね。

分かりました、何度も回答して頂きありがとうございます

回答No.11

edomin

＃２です。
「無限小数の場合0.033333333…のどこあたりから区切るのが数学的には定説なのでしょうか」
計算する場合は区切りません。無限小数と有限小数は見た目はにていますが、違う数字です。近似値を求めるなら小数点以下何桁までという設定をするでしょうが、数学的に計算する場合は、そのままです。
なので、
0.03333+0.03333+0.03334=1
と
0.03333・・・・・×３＝１
は全く違った計算をしています。

お礼

回答して頂きありがとうございます。

補足

0.03333…×30＝１なのは分かります。
0.999…は実数の定義などから１と同じと言う事で
理解しています。
しかし例えば0.03333…×60＝1.9998
と言う答えになり1.9998は決して２にはなりませんので
小数点以下何桁までと言う設定をしない限り0.03333…×60＝２
にはならないと思うのですが私が間違っているんでしょうか？？

30分の1×30×2とすれば２と言う答えが出るとは思いますが
この場合は0.03333×60で考えています。

何度も聞いてばかりですみません。

ちょっと返事が遅くなるかもしれませんが
申し訳ありません。

回答No.10

Ama430

無限を実感するのは難しいことですね。

0.0333…×60＝1.999…＝２
0.0333…×30＝0.999…＝１

＞1フレームおよそ0.033…秒でその中の1フレームに0.34秒のフレームを入れて誤差が出ないようにしているとしか考えられないのですが、そういう事ですか？？

「およそ」でなく、「ちょうど」です。どのフレームも同じ長さで、「出ないようにしている」のではなく、「出ない」のです。

＞30分の1秒は小数点に直すと誤差がありますし

30分の1秒＝0.033333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333…秒

で、どこまで3を書いても終わらないので、仕方なく、「…」などの表し方をしているだけなのです。
「書き表せない」ということと「誤差がある」ことはちがうということです。

お急ぎでなければ、何回でもおつきあいしますので、納得行かない部分を追加質問していただいてけっこうです。

お礼

丁寧に本当にありがとうございます。

とても感謝しています。

補足

数学的に専門の勉強もしてをらず
物覚えが悪い私にも丁寧に答えて頂き
本当にありがとうございます。
非常に感謝しています

0.0333…×60＝1.9999…＝２
とありますが確かに0.0333…の様な無限小数
の場合、どこで区切るかによって答えが２になるのか0.98
になるのかが決まってくると言う事が、Ama430様の
回答を見てやっと分かったのですが無限小数の場合
0.033333333…のどこあたりから区切るのが数学的には定説なの
でしょうか？？
やはり0.033…の様な無限小数の場合は0.0333で区切って計算しても
良いのでしょうか？？

非常に勉強になりました、ありがとうございます。

回答No.9

Ama430

１０進法は、人間の指の本数から来ていると思いますが、それほど万能な数の表現方法ではありません。

６０Ｈｚとは、１秒間に６０回くりかえす電磁波の「細かさ」のことで、ひとつの波にかかる時間を１０進法で表現しようとすると、
０．０１６６６６６６６６６６．．．．．(秒)
となり、無限に続きます。

この２倍が
０．０３３３３３３３３３３３．．．．．(秒)
で、30分の1秒の別の表現です。

無限であることを前提とするなら、何倍しても誤差は出ません。

３０進法や６０進法では、これが簡単な表現になりますが、それがピンと来ないようなら、「１フレームごとに無限の端数があるので誤差が出ない」とお考え下さい。

お礼

回答して頂きありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

なぜ無限に端数がある場合は誤差は出ないんですか？？
皆様の回答を読んで30分の1秒は小数点に直すと誤差がありますし
1フレーム何秒と決めることは出来ないので製作者は1フレームおよそ
0.033…秒でその中の1フレームに0.34秒のフレームを入れて誤差が出ないようにしているとしか考えられないのですが、そういう事ですか？？

端数に関しても例えば0.0333…×60＝1.98…で決して２には
ならないですよね。
回答者様の回答どおり0.033×3＝１として計算すれば問題
はないですが良く分かりませんが、この場合はあまり使えない気が
します。

回答No.8

renton

TVが1フレームを0.033秒というようには計算していないのでは？
NTSCは交流電圧の60Hzに近い、60フィールドで30フレームでの描画になっています。
正確に60Hzの電気が流れれば、60フィールド30フレームというのは崩れないのではないでしょうか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/NTSC

お礼

何度も回答ありがとうございます。

なるほど、そうですね。
60フィールドを基準に考えれば30フレームでも
問題ない気がします。

参考になりました、ありがとうございます

回答No.7

Cupper

＃５ Cupperです。

＞最初は問題なくても、どんどん倍数にすると
＞誤差が出ると思うのですが

その通りです。
しかし、数学には次の考え方があります。（ちょっと高度な数学ですので中学校レベルでは習いません）
0.99…などと「9が続く無限小数」は繰り返す上の桁の数字を繰り上げた数値と等しい。
　≪例≫ 0.5＝0.4999…
と言う考え方です。
この考え方に基づき計算すると、あら不思議ｗ
　1/30＝0.0333…
　0.0333…×30＝0.9999…＝1
こんな結果になります。

そして質問の場合は
　（1/30） × 30 × 3 と示すことができるので
　＝ 0.0333… × 30 × 3
　＝ 1 × 3
　＝ 3
めでたく3秒丁度になります。

お礼

丁寧にありがとうございます。

なるほど、実数の法則などを使えば
0.999…は1になりますね。

色々な計算の仕方があるわけですね。
それによって答えも変わりますし、この場合
どの計算式が正しいのでしょうか。