数値解析での行列の問題について

質問

行列{{1,0,-1},{1,2,1},{2,2,3}}の絶対値最大の固有値とそれに対応する固有ベクトルを累乗法によって求める問題についてですが、ヒントとして、|r3*(k＋1)-r3*k|<ε|r3*k|,ε=0,1となったところで止める。とあるのですがどのように使って解答するのかがわかりません。ここには数学の得意なみなさんがたくさんいらっしゃるのでアドバイスお願いします！

回答No.2

motochan7185 · ベストアンサー

べき乗法について簡単に説明すると、
行列Ａの絶対値最大固有値をλとすると、
「ベクトルにＡをかけて、掛けた結果の長さで割る（長さ１にする）」
を繰り返していくと、λに関する固有ベクトルに近づいていく、
というものです。
その過程での「掛けた長さ」がλの近似値になります。
最初に選ぶベクトルが運悪く他の固有値の固有ベクトルの一次結合だと
計算に失敗します。

「ε=0,1」と書いてらっしゃいますが、
これは「ε=0.1」の意味ではないですか？
おそらく、ベクトルの列r0,r1,r2,...を
r_(k+1) = A r_k / |A r_k|
と定義したとき、前のベクトルと次のベクトルの差が
長さの１割以内、という意味と解釈できそうです。

回答No.1

noname#48504

こんにちは、数学科 4 回生です。数値解析にはやや疎いのですが、、、。

与行列を A として、det (xE_3 - A) = 0 を解いて固有値を計算し、その中から絶対値最大なものを ?lambda とし、(?lambda E_3 - A) ?vec{w} = ?vec{0} を計算して固有空間の基底を求めるという方法では駄目なのですか？

累乗法に関しては（私はよく知らないが）、ここに記述がありました。
http://www.aomori-u.ac.jp/intro/engineer/ infosys/Labo/abstract-2002/IS11007.pdf