ベクトルと斜交座標

質問

現在浪人をしている文系の者です。
先日、予備校の数学の講義（生授業ではなく衛星放送のDVD学習）でベクトルを扱った際、斜交座標で捉える考え方を習いました。
恥ずかしい話、今まで斜交座標は名前しか知らず、問題によっては本当に迅速に解答出来ると知って感動したんですが、一つ気になる事があります。
その講義を受ける少し前に、たまたまネット上の掲示板で、数学講師に「何故斜交座標で直線の方程式を立てて解けるのか・解いても良いのかも判らないのに斜交座標で解くな」というような事を言われたという人を見かけたんです（その人は理系のようでしたが）。
確かに自分も、「斜交座標を使うと便利です」とは聞いたしそう思うけれど、逆に簡単すぎるので、二次試験などの記述でいきなりそれを使って解答終わり、とするのには抵抗を感じます。
なので何方か、「断りなく堂々と使って良い」または「迂闊に使わない方が無難」という理由（？）を教えて頂けないでしょうか。
センター試験等のマーク式で使う分には、何を使っても解けりゃ勝ちなのでいいんですが、二次は記述で、ベクトルが頻出なんです…。
因みに文系なので、試験範囲も履修した科目もIA2Bまでです。（理由や証明に3Cの知識が必要ならばそれはそれで、とりあえず使えるか使えないかが知りたいのでお願いします。）

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>「断りなく堂々と使って良い」
内積(長さと角度)の概念を使わないと、直交座標と斜交座標って区別できないんですよね(分度器もモノサシもなければ、直交座標かどうかが分からない)。
ですので、内積(長さと角度)を扱わないのなら、別に斜交座標も直交座標も違いはないんですよね。

例えば、点A(a→)を通り、ベクトルb→に平行な直線とかを考えた場合、直線上の点Pの位置ベクトルは
p→ = a→ + t b→
のように表わされます。ここからtを消去すれば直線の方程式になるのですが、単にtを消去するだけなので、直交座標か斜交座標かなんて関係ありません。(基本的には)どっちの場合にも、y=px+qという形の方程式が得られます。
あるいは、２直線の交点を考える場合にも、要は連立方程式を解くだけなので、内積なんてどこにも出てきません。だから、直交座標か斜交座標かなんて関係ありませんよね。

＞「迂闊に使わない方が無難」
上とは逆に、内積(長さと角度)が出てくると、直交座標と斜交座標に違いが出てくるんですよね。
※例えば斜交座標では、(u,v)と(u',v')の内積はuu'+vv'ではない
にも関わらず、内積(長さと角度)が出てくる場合――ベクトルn→に垂直な直線,半家いrの円とか――に、何も考えずに斜交座標を使うと(しかも直交座標と同じような計算をしてしまうと)、変なことになってしまうんですよね。
斜交座標でもちゃんとやれば正しい結果は出るはずですが、計算が面倒なだけなので、おとなしく直交座標で考えた方がいいんですよね。

お礼

なるほど、内積が絡んでくる時がまずいんですね。
確かにその数学の先生も、全ての問題が斜交座標で解ける訳ではないと言っていましたし、実際、eaternさんの仰っているタイプの問題でしか斜交座標は使っていませんでした。
斜交座標を描く時に、x軸とy軸のなす角を何度にするかは解答者の匙加減（？）で、その辺りが自分が記述式の試験で斜交座標を使っていいのか気になった理由の一つでもあったんですが、言われてみれば、交点の座標やらAC:BCの比やらを求めるにあたっては角度は関係ないんですよね。
納得できました。ありがとうございました！