分散について

質問

こんにちは。

標本分散と不偏分散の違いが分かりません。

ご存じの方、是非、書き込みをお願いします。

回答No.1

backs · ベストアンサー

標本分散(標本の大きさnで割る場合)は母分散よりも少し小さくなる傾向があるのです。これは標本の大きさが大きければたいして問題にはならないのですが,標本の大きさが小さい場合には都合が悪いということです。

だから標本の分散を求めるときは不偏分散(n-1で割る場合)を用いた方が良いのです。例えば,平均が50,標準偏差が10の正規分布から大きさ10,100,1000の標本を抽出してそれぞれの場合において分散を求めてみると次のようになります。

・標本の大きさが10のときの標本分散と不偏分散。
　　標本分散=116.3079
　　不偏分散=129.2310
・標本の大きさが100のとき
　　標本分散=99.55616　　
　　不偏分散=100.5618
・標本の大きさが1000のとき
　　標本分散=96.26725
　　不偏分散=96.36361

どうです？標本の大きさが十分に大きければどちらもほとんど差はありませんが,標本の大きさが小さいと随分と差がでてくるでしょう？ちなみに,これはRという統計ソフトを使って計算しました。数学的に理解することも大切ですが,コンピュータを使って実際にやってみるのも良いことだと思うのです。

回答No.3

solla

平均μ、分散σ^2（平均と分散が存在するなら分布の型や有限か無限かには依存しません）の母集団から大きさnの無作為標本を抽出したとします。このとき、この標本について分散の定義に従って

s^2 = (1/n) Σ(xi-m)^2
m = (1/n) Σxi

と求めたs^2が標本分散で、『大きさnの標本のばらつき』を表します。ここには母集団との関わりは意味的には何も含まれていません。

一方、母集団の未知なる分散σ^2を標本から推測したいというときに、その推定量の良さとして“不偏性”、すなわち推定に偏りがない、という基準を考えると、

s^2' = (1/(n-1)) Σ(xi-m)^2

という不偏分散が、σ^2の推定量として最も良いということが示されます。つまり不偏分散は『不偏性の基準において最も良い母分散の推定量』を表します。ちなみに推定量の良さとして不偏性以外の基準を考えれば、必ずしも不偏分散が良いとは限りません。

回答No.2

noocyte

正規分布 N(μ，σ) に従う確率変数 X があるとします．
平均μ，標準偏差σを直接測定することはできませんから，
X の標本値 X1，X2，…，Xn からμとσを推定することを考えます．

標本値の算術平均，つまり標本平均
X￣ ＝ (1/n)ΣXi
の期待値は母平均μに一致します．
したがって標本平均は母平均の良い推定値になります．

しかし標本値から計算した分散，つまり標本分散
σn ^ 2 ＝ (1/n)Σ(Xi－X￣)^2
の期待値は母分散σ^2には一致せず，((n－1)/n)σ^2 となります．
そこでこの値に n/(n－1) を掛けた
σ(n-1) ^ 2 ＝ (1/(n－1))Σ(Xi－X￣)^2
を定義すれば，その期待値は母分散に一致します．これが不偏分散です．

つまり標本分散は，実際に測定された X1，…，Xn だけに関する分散なのに対し，
不偏分散はその背景にある母集団の分散の推定値である，と言えると思います．

昔，ある統計学の本で不偏分散について定性的に説明したくだりを読んで，
なるほどと思ったことがあります．その内容は (うろ覚えですが) だいたい
次のようなものだったと思います．

「正規分布は平均値に近いほど確率密度が高いので，
　標本数が少ないと実際に出現する標本値は平均値付近に
　偏ってしまい，標本分散は母分散よりも少し小さくなる．」

分散 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3