確率変数とは？？

質問

確率変数とは何か？と問われたら何て答えるのが正しいでしょうか？？
どうか教えてください。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

高校生までであれば、「ランダムにある値を取る関数のこと」という理解でいいと思いますが、数学的に厳密に答えると、「確率空間に値を取る可測関数」のこと、というのが最も正確な言い方（定義）です。

上の言い方だと、確率空間が確率変数の値域になる、という主張なのですが、では定義域はどこか？ということになりますが、これは確率論の世界ではあまり表立って現れることはありません。たとえば、よく使われるコイン投げのモデルを考えましょう。簡単のため、コインの表を+1、コインの裏を-1であるとします。確率変数Xがコイン投げのモデルであるためには、Xが±1という値を取ればいいような気がします。Xは先にも言いましたが、あくまでも関数なので、X(ω)=1または、X(ω)=-1と書きたくなります。ωというのが先ほど省略した定義域の元なわけです。こういう書き方がなれないのであれば、f(x)=±1のように思ってもよいのです。とにかく、どこかに定義域があって、1か-1になるような関数を考えた。それが「確率変数」の例なのです。

ここで次のような疑問が出てきます。なぜ関数と言わないのか？そして、たとえばX(ω)=1または-1と言ったが、じゃあ定義域のどのωで値が1になって、どのωで値が-1になるのか？より直感に訴えると、いったいどういう状況のときにコインは表を向いて、どういう状況のときにコインは下を向くのか？ということです。これは非常に難問なのです。ωというのは一体なんなのか？ということとも関連します。

ここではより直感を働かすために、ωとは、湿度や温度や風向き、手の投げる角度、高さ、床の材質、その他ありとあらゆる状況を表すパラメータだと解釈しましょう。それらが決定されれば、コインが表を向くか、裏を向くかが決まってしまう、と考えるのです。そういった考え方がX(ω)=1とかX(ω)=-1に通じます。確率変数というのは、そのようなものであると考えていて間違いないと思います。そして重要なのが、ωを完全に決定する術は我々は持っていない、ということです。つまり、ωさえ分かればコインが表を向くか、裏を向くかは判明するけれど、そのωが何であるかを知る術はないのだ、ということです。その代わりに、我々はX(ω)=1、あるいはX(ω)=-1となる頻度だけは知ることが出来る、と考えるのです。このことをP(X=1)=1/2、P(X=-1)=1/2と書いたりします。つまりωがいつどんな状況のときに表になるかどうかは分からない。ただ、その可能な状況のうち、半分は表が出ることになっている、そういう風に解釈するわけです。このXが取る値の頻度（別の言葉で言えば、"Xが取りうる値"が生じうる確率をすべて調べたもの）、つまりこの例では、P(X=1)=1/2、P(X=-1)=1/2ですが、これを確率分布、と呼びます。確率論では、どのωのときにXが1になるか、などという問題を考えるのを諦めて、Xが1になる頻度だけ（確率分布）を考察しよう、というわけです。

ともあれ、「確率変数」とは、定義域がしごく曖昧な関数のことなんだ、というように思っておられたらよいのではないでしょうか。

お礼

返信ありがとうございます。私は現在大学一年生で確率統計の勉強をしており、確率変数とは何かといつも考えておりましたがなかなか完全な理解ができておりませんでしたが、理解の助けになりました。

回答No.1

supob

その変数の取る（現れる）値について、確率式で表現できるもの。でしょうか。
サイコロであれば、１，２，３，４，５，６それぞれの目を取る変数が
確率変数で、それぞれ現れる確率が１／６。というような感じで。
その他、検索サイトにて。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&inlang=ja&q=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%A8%E3%81%AF&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_ja

お礼

返信ありがとうございます！！