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球体の容積の一部を求めるには？
球体に溶液が満たされている時。その容量とその容量の深さあるいは底面中心からの距離との関係を求めよ。 これは大型のエバポレーターを使用している時に、内部に溜まった液量を外部から知りたいと思ったのですが、理系の人に考えてもらっても答えに到達しなかったのです。 ちょうど半球なら、容量は半分になるのは分かるのですが、それ以外の時を知りたいと思います。
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球体を薄くスライスした円盤の集合と考えます。 底からの距離zにある円盤の半径rは球体の半径をRとするとr = √(R^2-(R-z)^2) なので、 この円盤の上面の面積Sは S = πr^2 = π(R^2-(R-z)^2) = π(2Rz-z^2) 体積Vは微小な高さdzをかけて V = π(2Rz-z^2)dz となります これを0（底）からd(底と液面の距離)まで定積分すると、体積は π(Rd^2-(1/3)d^3) です
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- caliente
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球形と言うことはかなり大型のエバポレーターですね。傾きもほとんど一定で使用されていると思います。目的を理解していないのですが....。 深さを確認するのにいちいちバスから引き上げるのも大変ですから、計算すると言うよりも、一度決まった量を徐々に入れていって、実測で適当な細かさでメスシリンダーみたいに線(というか輪？)をあらかじめ入れておくというのは如何でしょう？あるいは、量を刻んだ半円形の定規を作っておくとか...。 うちのはそんなに大きくなくてナス型ですが、局面に沿った鎌の先みたいな定規？をあらかじめ作っており、回転した状態でフラスコ付け根から回転で出来た溶液の薄膜の境界(上手く言えない)間での距離で残量が直読できる様にしています。
- thyristor
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回答Ｎｏ４の者です。４行目を この円盤の体積dVは微小な高さdzをかけて dV = π(2Rz-z^2)dz と訂正します。
Ａ２です ごめんなさい π（Ｒーｘ）＾２ ではなくて π（Ｒ＾２ーｘ＾２） π（Ｒ＾２ｘ－（１／３）ｘ＾３） ですかね
容器の半径をＲとします。底から深さｄまでの容積は 関数 π（Ｒーｘ）＾２を －Ｒから－Ｒ＋ｄまで積分すればいいと思いますが。 この積分は π（Ｒｘ－（１／３）ｘ＾３）ですからそんなに難しい計算ではないと思いますが・・・・
補足
いわゆるベンチサイズというのでしょうか？実験室と工場の中間型の大きさで、直径が３０センチはあると思います。 次のステップに移るのに、容量の制限があり、エバポの容量が分かれば、効率よく勧められると思った次第です。 確かに、そちらの方法ですと、経験的に容量を知ることが出来ますね。ありがとうございました。