数学的に、将棋と碁の手数はどちらが多いですか？

質問

純粋に数学的に考えた場合、将棋と碁では、初手から、最終手までにあらわれるすべての変化を含めた手の数（局面）はどちらが多いですか？
天文学的な数になるとは思いますが、それぞれどのぐらいの数字になるのかにも興味があります。

数学の先生など、いろいろな方に聞いてみましたが納得のいく説明がいまだに得られません。変な質問ですがお願いします。

回答No.8

starflora · ベストアンサー

囲碁は正確なルールを知らないのですが、囲碁でも「千日手」があるとなると、計算はどうなるか面倒になります。

　　将棋も囲碁も、名人あるいは相応に熟達した人が勝負すると、考えている時間はともかく、有限の回数で勝負が決まるはずです。また、それはかなり初心者の場合でも同様だと思います。何故なら、「勝負するため」に行うゲームなので、無意味に金を前に動かし後ろに下げというようなことを、無限回数繰り返すというようなことを、人間が勝負する場合は行わないからです。

　　人間が勝負するという前提で、有意味な勝負をするとすると、将棋の場合が、エントロピーが低いはずです。つまり、秩序性が大きいのです。最初の陣配置が決まっていて、ここから陣形をまず整えつつ、相手に攻めて行くのが将棋です。相手の陣形が崩れ、こちらも崩れ、王将・玉将が、互いに相手の陣地にいるというような倒錯したパターンに勝負が展開することもありえますが、もう一度、それが反転してということは、ほとんどあり得ないでしょう。

　　将棋の場合、「詰め将棋」があるように、或る配置の時に、有効な手というのが、秩序的に決まって来ます。自己の陣形を固めて相手に攻撃を加え、これで勝敗が決まらない時は、陣地が色々な場所に移動しますが、そういう移動は二回か三回までのはずです。人間が勝負している限り、まったくルールを知らない人は、何をするか分かりませんが、少しルールを知っていれば、有限の手数内で、勝負が決まり、そのパターンは相当に秩序があります。つまり、秩序パターンからのヴァリエーションが、将棋の複雑さになります。

　　囲碁の場合、どこが自分の陣だとか、そういうものもない訳で、局所的な「詰め囲碁」はやはり定型があっても、升目の数が将棋よりも格段に多いこと、秩序性が、決まっていないというか、考え方では、無数にあるとも言え、同じ勝負を、９０度づつの回転で、四通りに分けても、別の勝負パターンだと勘定できるので、（将棋の場合、陣が完全に反対に入れ替わるとかの場合でも、こんなことはありえません）、局所的な勝負でも、同じ回転のパターンがあり、（将棋では、相手と自分の二つの方向があって、これは結局、一つの方向しかないことになり、盤面が狭いので、或るパターンを、平行移動させてできる勝負パターンは、せいぜい、三つか四つで、平方しても、９か１６，……それに対し囲碁は、局所勝負が四つ回転でできる以外に、平行移動で、１０以上の可能性があり、その平方だと、１００のヴァリエーションがあります（まったく同じ局所局面を縦横の平行移動で、１００以上造れるのです。回転も加えると４００です）。

　　一見、将棋の方が複雑に見えますが、将棋は、秩序性が高いため（駒の機能秩序も高いですし、盤面の目が少ないので、熱力学的な要素の拡散のエントロピーも小さくなります）、実は、有意味な手のパターンは、限られているということになります。限られたパターンからのヴァリエーションなので、これも限られていることになります。囲碁は、エントロピーが非常に高いです。個々の玉の機能に何の秩序性もありません。

　　将棋の場合、乱暴な話で、自陣は、９・２・９で、２０の駒を使います。これが、前進して一歩前へ平行移動し、その時、すべての駒が位置を交換し合うとすると、「空き」も駒にとりあえず考えると、１前進の平行移動で、３０の駒が新しい３０の位置にランダムに入ると、３０！です。相手の陣まで、６ステップなので、６Ｘ３０！、相手もこういう可能性で動くので、（６Ｘ３０！）^2 この程度で、勝負か決まるはずです。３０！＝２．６Ｘ10^32　です。（６Ｘ３０！）^2＝２．４Ｘ10^66 です。概算ですから、どこか間違っているかもしれませんが、この程度のオーダーです。ありえない駒の配置を数えているので、実際はもっと少ないです。

　　駒がなるとか、色々ヴァリエーションがあるように一見思えますが、勝負を人間が行っている限り、「有意味な手」しか打ちませんから、有意味な手のなかでのヴァリエーションということになり、盤面が小さいので、ヴァリエーションはそんなに多くありません。

　　囲碁の場合は計算原理が、いま少し分かりませんが、人間が勝負する場合、囲碁の場合は、開始から終了まで、長くて、５０時間か６０時間ぐらいだと思えます。将棋はもう少し短く、長くて１０時間か２０時間でしょう。現実には、一手に１０分だとしても、２００手でつみなら、２０００分、つまり３３時間です。１０分もかけませんから、１０時間から２０時間というのは、人間の勝負時間に合っていることになります。

　　囲碁は、升目の数をほぼ埋め尽くすと勝負が決まります。ほぼ、というのは、まだ相当開いていても、勝敗は決まるからです（人間が勝負している場合）。しかし、そうとしても、升目が半分もうまらないうちに勝負が決まるのは珍しいというべきでしょう。

　　囲碁の碁盤は、１９路あるようなので、１９Ｘ１９＝３６１で、ランダムに、この半数を埋めて行く可能性の数は、３６１！／１８０！……これは、将棋の３０！どころの比でありません。この可能性の数は、無意味なパターンも多数含まれているとしても、局所的選択の可能性から言うと、２００！ぐらいのパターンはありそうです。到底将棋のパターンは比較になりません。

　　以上の非常に原始的な考察からして、囲碁が圧倒的に、「手数」が大きいです。ただし、人間が勝負する場合です。その理由は、将棋は盤面が小さく、エントロピーが小さく、駒の機能も決まっていて、秩序性が高く、陣形も最初は決まっていて、でたらめな陣形はなかなかないということから秩序性が高く、勝負のエントロピーが小さいのに対し、囲碁は、盤面が広く、玉に機能区別がなく、エントロピーが非常に大きいので、こうなります。

　　コンピュータとか、「無意味な手」を打つ場合は、どちらも、無限回まで勝負が延長できるので、この無限は、「可算無限」で、囲碁と将棋は、コンピュータとか、ランダムに駒を打つような勝負者が勝負した場合は、可算無限までの限界が考えられ、「手数」は同じまたは、同じに近づく、ということになります。

　　本当にどうか、シミュレーション計算でも行わないと分かりませんが、以上の理論的仮説が、どのぐらい説得力があるかないかの問題です。（誰か、シミュレーション計算のアルゴリズムから、手数の具体的見込みの値は分からないが、しかし、将棋の方が手数が亜圧倒的に多いか、同じぐらいかという証明のない場合、以上の仮説考察は、かなり有効な仮説近似だと思います）。

お礼

うーん、詳しい理論的な解説、ありがとうございます。
有意味な手という点では、囲碁が圧倒的に多いということですね。

＞　将棋の場合、「詰め将棋」があるように、或る配置の時に、有効な手というのが、秩序的に決まって来ます。

これは経験的にわかります。たとえば、初手は飛車先か角道の歩を突くかのどちらかしか有効な手はないというようなことですね。序盤、終盤の寄せなどはそういうパターン化の傾向がかなりありますね。

回答No.11

naoppe

とうとう４回目の書き込みとなってしまいました。

terra5さんの仰るように許される手を全て計算の中に入れるのでしたら、意味の有る無しに関らず答えは初めから解かっています。
囲碁も将棋も両方とも手数が無限にあるということで引き分けです。

将棋の場合は歩、香車、桂馬以外の駒は元の位置に戻れます。
千日手とは譲った方が負けてしまう場合ですから千日手以外の無限反復はルール上止めるわけには行きません。
その無限反復も複数の駒を両者が反復している場合には、何手かの後に元に戻ると言う反復の種類も無限になってしまいます。
手の数を求める時にたった一つでも無限になる場合があれば、それは無限としか言いようが無いのですが、無限となる場合が無限にあるわけですから将棋の場合は明らかに無限となります。

囲碁の場合は盤面を石で埋め尽くすと終わると考えておられる人がいますが、ルール上でストップされないもので無限に続くものがあります。
ルールでも反復を生じた場合は『双方の同意がある場合にのみ』引き分けとなると書いてあります。
と言うことは同意しなければいいわけですからルール上からも『無限』を認めているのです。
盤面上の石の数が変わらずに無限に続くわけですから、囲碁の場合も手数は無限となることが解かります。

『無限となる場合を除く』とした時点で数学的に『純粋』ではなくなるので無限の場合を除くことは出来ません。
この質問が本来のルール以外は一切制約をつけないということが前提でしたら、『両方とも無限である』ということに落ち着くことは間違いないと思います。

しかしそれだけではkenji24715さんの質問の答えにならないかと思いましたので、実際の対局に即した条件でおおざっぱに計算してみましたのが＃９です。
計算結果は仮定の積み重ねですから信憑性には？がつきます。
しかし『純粋』のほうの答えが『両方とも無限』であることは『自信あり』です。

お礼

naoppeさん、たびたびありがとうございます。

さて、ここまで回答者の方々の意見を聞いて、ボクの最初の「数学的」という問いかけは、たいへん不適切だった、あいまいだったという考えに傾いています。
本当は、「ゲームとして」とか「（将棋の場合でしたら）敵玉を詰めるという目的で」とか現実的な、具体的な言葉で説明をした上での、手数の多さを問うべきだったということです。
しかし、これは、ここで皆さんの回答を聞くまでは考えつかなかった考えですから、お許しください。

ここで確認しておきたいことがあります。
ここでは、「千日手」（＝同一局面4回）が成立しても勝負を続けることがたびたび問題になっています。
これを考えに入れると無限になってしまうということについてですが、実際には、千日手は指し直し（王手の場合は、王手した方が負け）という正式なルールがあります。
優勢だと判断した場合、千日手を避けて別の手を指すというのが、プロはもちろん、アマ高段者でも当たり前で合理的な戦術だとされています。ですから、前述のご意見にもあったように、現実には、勝負における、意味のある将棋の手数というのは、相当せまいのかな、という考えでおります。
（ここ1、２年の新しいものは知りませんが、形勢判断のできないＰＣ将棋ソフトは同じ手を繰り返すようですが・・・ただ、プログラムでは、最もやっかいな箇所とは思います）
そうでなくても、この千日手のルールがある以上、仮にムダな手を含めたとしても、少なくとも「無限」はありえない。
手数は「有限」であると思っています。（数学に疎いため、自信をもって言えないところがつらいですが＾＾）

回答No.10

terra5

数学的な評価と実際的な評価は別物です。

数学的という場合はルールに違反しない手は全て可能と考えるのが普通で、
条件をつけるにしても意味がある手のようなあいまいな字表現はありえません。

ですので、数学的な数が意味があるかどうかは別にして、
数学的な数を求める場合、通常の大局は何手程度という数字は意味がありません。

これが、ゲームとしての複雑さとか、平均的な数とか、
ゲームのプレイするプログラムを考えるとか言う話になると、また話は別になります。

数学的な数よりは,こういう数を考える方が面白いネタだとは思います。

お礼

アドバイスを受けて、
もう一度、疑問点について整理してみたいと思います。

回答No.9

naoppe

スミマセン、３度目の登場です。

将棋も囲碁も『最善手』とは言わないまでも『悪手』と言われない程度の選択肢は、皆さんが思っているほど多くはないと思います。

囲碁の場合、序盤はともかく中盤以降は悪手とならずに指すことの出来る手は１０通りも無いと思います。勝負のつき方が『中押勝ち』と言われる試合放棄ではなく、最後までやって盤面勝負となる場合はおおよそ３００手ぐらいのようです。
この場合、一人１５０手を打つ訳ですから一手当たり１０通りの指し手があるとしても１０の１５０乗ほどです。
実際には囲碁の対局で解説者がかなりの確率で次の手を当ててしまうのを見ると、１０通りも無いと考えるのが普通でしょう。

１０通りの時は　１０＾１５０(１０の１５０乗)通り
５通りの時は　　約７×１０＾１０７(１０の１０７乗)通り

将棋の場合は勝負が決まるまでに７０手から１５０手程度のようですから、一人１００手以内にはなるようです。
しかし将棋の場合は囲碁と違い、常に途中で詰んでしまう危険、あるいは駒を取られてしまう危険を回避しながら指すことを要求されていますので、指せる次の手が平均で５通りも無いような気がします。
たとえ平均５通りあったとしても指し手の数も最大で１００通りほどですから

約７.９×１０＾６９(１０の６９乗)通り

これらは全て一人が打つ場合の指し手の種類ですので、相手の指し手の種類も同じだけあるわけですから、先ほどの数字の２乗が一局の指し手の種類の数(仮定に仮定を重ねた上での概算)になると思います。

これを考えるとランダムではなく最善手あるいはそれに近い手を打つという条件下では、囲碁の方がかなり起こりうる盤面の種類(結果だけではなく途中経過も含めて)が多いかな、とは思います。
指し手の多さも考えるとかなり囲碁の方に分がありますね。

因みに囲碁の場合は先手が５～６目（もく）有利と言うことが経験上解かっていますので、後手(白石)に通常５目半の『コミ』と呼ばれるハンデを与えて計算します。
なぜ『半』がついているかと言うと、囲碁の場合はかなりの対局で１目とか２目の小差で勝負がつく場合があるので、引き分けが無いように『半目』も付けているのです。
このことは一手でも無駄な手を挿すと５目以上差がついてしまうということで、かなりシビアな戦いが数時間、あるいは数十時間続くということですね。
現在では中国や日本を抜いて、韓国の方が連続で囲碁の世界一となっています。

以上、前言を撤回して囲碁に一票を入れさせて頂きま～す！(笑)

回答No.7

nozomi500

再度。
＞しかしこれでいくと、ｎａｏｐｐｅさんの囲碁の数字より小さくなるわけですね。

「囲碁の数字」は「最大で」という断り書きがありますから、それと、「現実のタイトル戦の２００手」を元にした計算を比べるのは意味がないです。
現実には、「王手」をかけられた状態で次の手は数えるほどしかないし、何百通りがいつでもあるわけでもない。
「お互いの動きを邪魔されないで」という前提で７００通りが計算されているわけですが、そもそも、邪魔されない（邪魔しない）ところに駒を置いても、意味がない（敵のいないところに派兵することだから）

味方する、というわけではないけれど、「動き回る」ものと「埋めていく」ものを比べたら、「動き回る」ほうが数的には大きいと思うけど

お礼

現実には、将棋の場合、次の手は数えるほどしかないときがあるのは、よくわかります。（正解の一手を発見するために、手をたくさん読む必要はありますが）

「意味のない」手をいれると、将棋の方が多そうだということでしょうかね。

回答No.6

pancho

誰も将棋についての概算数を出していないようなので、ごくおおざっぱな限界数を出しておきます。

すべての駒が番面に有り、お互いに動ける場所をじゃましていないと仮定すると、１７５通りの差し手が考えられます。（相手の王を除いて、すべての駒が自分の物の場合です。駒の成りを考えると、さらに多くなりますが、大体２００通り程度でしょう。）

次に、お互いの王（と玉）除くすべての駒が手元に有るとすると、打てる指しては、７９カ所×７種類の駒－９カ所×３種類の駒で５２４通りでしょう。、

合わせて７００通りを越えたぐらいが１度に選択できる手筋の限界です。もちろん、この仮定には矛盾したものが含まれていますので、実際にはもう少し少なくなります。

そこで、最近のタイトル戦などを参考にすると、大体１００から２００手程度で勝負が付いていることから、７００の２００乗程度が将棋での手数のひとつの目安とならないでしょうか？

これは、２番目の方が計算された囲碁での手数には及びませんが、囲碁でも最後まで石を並べることはありませんし、将棋でももっと多い手数が存在することを考慮すると、かなり面白い勝負になりそうです。

以上。

お礼

将棋は概算すると、700の200乗ですか？
ふむ、いずれにしてもはじめてみる数字です。トンでもない数字ですね。
しかしこれでいくと、ｎａｏｐｐｅさんの囲碁の数字より小さくなるわけですね。

回答No.5

naoppe

なんだか将棋に軍配が上がりそうなので、ちょっと囲碁の応援をするために戻ってきました(笑)

将棋でも囲碁でも終わらせる気が無いのであれば、永久に終わりませんよ。
終わらせる気があっても『三劫』は千日手と同じで譲った方が負けてしまうこともあるので終わりません。。

またダメの詰まってない状態で相手の『縦四目』などに打ち込み続ければ、目が詰まった状態で打った石が相手のものとなるだけで盤面に変化がありません。(多分ですが)
その場合は石が無限に要りますが、石の数のルールは知りませんのでその辺はご容赦を。

この囲碁と将棋の勝負も何とか『千日手』か『セキ』に持ち込みたいんですけどねぇ(笑)

お礼

将棋も囲碁も、同一局面が繰り返されると、無限になってしまうということですね。
囲碁のルールはよくわかりませんが、将棋はたしか同一局面4回で千日手指し直しだったと思うのですが、そのへんのところはどうやって考えたら・・・
また、わからなくなってきました＾_＾

回答No.4

upsilon4s

将棋では nozomi500 さんが指摘しておられる千日手のほかにも、
例えば、「金」を　右上→左→下　と動かせば初期状態に戻すことも出来ます。

私も将棋に１票です。

お礼

皆さん、やはり将棋ですね。
いろんな条件を整理するだけでも、碁よりたいへんなわけですね。

回答No.3

nozomi500

将棋には「千日手」といって、けっきょく同じ手の繰り返しになるのでノーゲーム、というのがあります。これにはまると無限に同じ手が続きますからね。

囲碁でもありうるけれど、将棋の方が多そうです。

これが「オセロ」であれば、６４マスを確実に１個ずつうめていきますから、計算できますね。それでも膨大だろうけど。
五目並べは・・・？

お礼

将棋は、想像を絶する数になることがわかっただけでも収穫です。
オセロとか、五目並べあたりなら、なんとかなりそうなんでしょうね。

回答No.2

naoppe

将棋よりも少ないパターンのチェスでさえスーパーコンピューターを使わないと解析できないのに、パソコンの前でいくら計算しても答えは出ませんよ(笑)

碁のほうは「あげはま」を考えなくていいのなら

１９×１９＝３６１まで目があるので最大で

３６１！≒１.４３７９２３２５８８８４８９０６５４８３２３６２５１１４９９９×１０の７６８乗

正確な数字は自分で計算してください(笑)
でも「あげはま」を抜い場所にまた打てるので、どれくらいになるのか想像もつきませんね。

こんなことを考えてるとますます禿げそうなのでもう止めます(笑)

お礼

碁の方は、具体的な数字を示していただきありがとうございます。
将棋はこういう仮の数字さえも出せないということですね。

回答No.1

terra5

将棋の方は見当がつけようがないですね。

囲碁は正確でないにしても、全ての升目を埋める手数程度までの組み合わせで、
ある程度めぼしはつく(でも実際はもっと多い)ように思いますが、
駒が自由に動けて、盤面から消えたり、復活したりでき、
手数の最大値の見当すらつけようの無い将棋では
概数すらどうやってだしたらいいかと考えてこみます。

見当がつけられないということが、手数の多さにつながるとするなら、
将棋の方が数は多いようにも感じますが。

まあ、私にとっては有理数と無理数はどっちがたくさんあるか程度に意味が無いと考えます(^^;;

お礼

なるほど、将棋の方が多いということですね。

＞意味が無いと考えます

ボクも意味がないように思うのですが、こういうことを考えることで、将来的に先手必勝（必敗）とかのなんらかの法則が見つかることにつながるのではと思ったので質問させていただきました。数学素人、ただの将棋ファンの、思いこみでしたかね＾＾