電磁気

質問

以前に学校の電磁気学の授業で、∂/∂ｔをｊωとおけると習ったのですが、
それはどうしてなのか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

chukanshi · ベストアンサー

電磁気学に限らないのですが、電気回路などでも使いますが、
そういうものの微分方程式の解は大概、指数関数
exp(jωt)になります。jは、虚数単位です。
そしてexp(jωt)をtについて偏微分する、つまり、
∂/∂ｔexp(jωt)とすると、jωexp(jωt)となりますね。
そうすると、いかにも∂/∂ｔがｊωに変わったようにみえます。
だから、∂/∂ｔをｊωと機械的に置いてしまってもいい、
（ただし上記のような注意がいりますが。）と習ったのだと
思います。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

∂/∂ｔをｊωとおけるという理由は既に chukanshi さんと Umada さんが
書かれたとおりです．
ただし，背景にはいわゆる線形性があります．
何かの振動を考えたときに，
振動が必ず単一振動数と最初から決まっているわけではありません．
何種類かの振動数が共存しているかも知れません．
光は電磁波ですが，通常はいろいろな振動数成分が混ざっていますよね．
だからこそ，プリズムを通すと色が分解できるのです(色が違う⇔振動数が違う)．
で，振動数が決まらないとωがわかりませんから，jωt と置き換えるとき
どのωを使っていいのか困ってしまいます．

実は，こういう置き換えができるのは，いろいろな振動数成分が混ざっているときに
それぞれの振動数成分の様子が独立で他の振動数成分とは無関係だと言うときの話です．
これが線形性です．
こういうときには，各々の振動数成分毎に独立した話ができますから，
その振動数をもって jωt で置き換えればよいわけです．
フーリエ級数をご存知でしたら，
各フーリエ成分が独立であるということです．

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.2

Umada

∂/∂t(演算子)をjω(こちらは数)に置き換えて解析することは電磁気学だけでなく、振動論一般で用いられる方法です。ただし何でもかんでも無条件に∂/∂tをjωとおいてよいわけでなく、時間に関し振動する定常解を仮定した場合にのみ置き換えることができます(*)。減衰振動(exp[(-a+jω)t])や単なる一次応答(exp(-at))の時はこの置き換えはできません(aは正の定数)。

いま着目している振動f(x, y, z, t)が場所の関数R(x, y, z)と時間の関数T(t)の積で表せるとします。
　f(x, y, z, t)=R(x, y, z)×T(t)
T(t)は時間に関し振動する定常解との前提でしたから、例えばT(t)=Aexp(jωt)と表すことができます(Aは定数)。するとfを時間tで偏微分する演算は
　∂f/∂t=R(x, y, z)×∂T/∂t
　　　　 =R(x, y, z)×∂[Aexp(jωt)]/∂t
　　　　 =R(x, y, z)×jωAexp(jωt)
　　　　 =R(x, y, z)×jωT(t)
となりますから、∂/∂tという演算をjωを掛ける操作に置き換えてよいわけです(chukanshiさんが既にお答えの通りです)。減衰振動や一次応答の場合に∂/∂t→jωの置き換えができないのも自明ですね。

--------
*過渡現象の解析では∂/∂t→jωの置き換えはできないのですが、∂/∂tをjωでなくs(ある変数)などとおいて代数的に微分方程式を解く方法(ラプラス変換など)もあります。この場合は解の形は振動するものに限定されず、また過渡現象も扱うことができます。機会があればこの先で学ぶでしょう。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。