ベクトル恒等式

質問

下記のベクトル恒等式がありますが、
-------------------------------
[nabla] dot (a V) = a [nabla] dot V + V dot [nabla] a

a : scalar
V : vector
-------------------------------

第一項目は
[nabla] dot Vにて 発散の計算をした上でaをかける。
と理解できますが、

第二項目の V dot [nabla] aの計算は

1) [nabla] a -> gradの計算により求まるベクトル
2) V と 1)のベクトルとの 内積 (dot)

でいいのでしょうか?

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

＞混乱していますのが、「スカラー」「スカラー場」ですが、

今の場合、
「スカラー」＝「実数」
「スカラー場」＝「(3変数の)実数値関数」
のように考えて差し支えないでしょう。

とはいっても、混乱しているのは、「実数」と「定数関数」の違いでしょうかね。
「実数a」と「任意の(x,y,z)に実数aを対応させる関数」を同一視する事はできます。でも、「数」と「関数」なので、概念としては違うものです。

>「スカラー」の場合は第二項目は消えてしまうのでしょうか?
a(x,y,z)=const.
つまり、定数関数であれば、第二項は消えます。仰るように定数関数の微分がゼロだからです。

{fg}'=f'g+fg'
という１変数関数の「積の微分」において、gが定数関数だったら、第二項がゼロになる、と言っているのと同じ事です。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

実数と定数関数の点も混乱をしていましたが、理解いたしました。

回答No.1

eatern27

それでいいですよ。

実際、そのように解釈して、成分計算すれば、両辺が一致しますよね。

補足

回答ありがとうございます。

スカラー場で考えて成分計算をしますと確かに一致しました。

混乱していますのが、「スカラー」「スカラー場」ですが、
「スカラー」の場合は第二項目は消えてしまうのでしょうか?
(定数の微分となるため)