確率について

質問

次の問題を教えてください。
５つのおはじきに１から５までの数字が書いてあり、区別できるようになっている。この５つのおはじきを横に一列に並べる実験を考える。
（1）この実験を記述する標本空間は何個の標本点からできているか。
（2）番号1のおはじきが左端にくる並びどうしにそれぞれ等しい確率を設定し、番号1のはじきが左端にこない並びどうしにもそれぞれ等しい確率を設定する。しかし、番号1のおはじきが左端にくる並びにはそうではない並びの2倍の確率を設定するものとする。この時、番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ。
（3）（2）で設定された確率で、番号1のおはじきと番号2のおはじきが隣り合う確率を求めよ。
（4）（2）で設定された確率で、番号5のおはじきが左端に並ぶという条件のもとで、番号1のおはじきと番号2のおはじきが隣り合う条件付確率を求めよ。
ヒントでもよろしいので宜しくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ほいほい。チェックしました。No.2の方が正解です。
（１）
全部で何通り並べ方があるか。ってのを小難しく言っただけ。5! = 120

（２）
左端以外のおはじきは4!通りの並べ方がある。
・まず左端が1以外のとき、の確率をqとしてみましょう。
P(a????)=q (aは1以外)　
このパターンの並べ方は、a=2～5のそれぞれについて4!通り。だから4×4!通りの並べ方があります。
・また、左端が1のときの確率は2qです。
P(1????)=2q
このパターンの並べ方が4!通りあります。
そして全部の並べ方の確率を合わせると１でなくちゃいけない。よって
(4!)2q+4(4!)q = 1
ゆえに
6q (4!) = 1
q = 1/(6×4!) = 1/144
となります。しかし求めるのは
P(1????) = 2q = 1/72
でした。

（３）
まず、1と2を置く場所の選び方が何通りあるかを数えます。
とにかく1と2を並べて置く。つまり
12　もしくは　21
で、12あるいは21、の左側におはじきを0～3個置く。ですから12,または21を置く場所は4×2=8通りある。
で、この８通りのどれについても残りの３個のおはじきの並べ方は3!通りあります。
　さて、そのうち、
P(12???) = 2q　… 3!通り。
P(それ以外) = q　… (8-1)×3!通り
です。ゆえに、求める確率は
(3!)2q+7(3!)q = 9×(3!)q = 3 /8

（４）
えっと12が隣り合うことをA, 左端に5がくることをBと表すことにしましょう。で、先に
5?...?12?...
もしくは
5?...?21?...
というパターンが生じる確率（これをP(A,B)と書く）を求めましょう。（左端は1ではないので、どの並べ方でも確率はqですね。だから並べ方の数を数えるだけでよい。）
　まず、1,2,5を置く場所の選び方が何通りあるかを数えます。5と、12または21、との間には、おはじきが0～2個入るんだから、全部で2×3=6通り。このそれぞれについて(1,2,5以外の）2個のおはじきの置き方は2!通り。ゆえに、全部で6×2! = 12通りの並べ方があります。よって求める確率は
P(A) = 12q = 1/12
さて、左端が5である確率P(B)は、
P(5????) = q というパターンの並べ方が4!通りありますから、
P(B) = (4!)q = 1/6
従って求める条件付き確率は
P(B | A) = P(A,B)/P(B) = 1/2

回答No.4

starflora

No.2 の人が正解だというのなら、そういうのは自由ですが、しかし、（４）の回答で二つ答えを出している通り、質問が、まわりくどいというか（わたしの理解力がないと言うか）、何を尋ねているのか、（２）も（４）も、よくよく考えて、こちらだろうと思った方の答えを書いたのです（４の場合は、二つ書きました）。

　　（２）の質問は、
　　＞この時、番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ。

　　とあるのですが、「設定した確率」の数字を求めよなら、わたしの１／３という答えは、これは、１が左端に来るイヴェントの起こる確率をそうでないイヴェントの確率の２倍に設定した時、１が左端に来るイヴェントの起こる「ケース全体」の確率を求めているもので、ケースの数は、４！だと言っていますから、個々のイヴェントについての確率なら、（１／３）（１／２４）＝１／７２です。

　　この文章は、問題を解く順序から言うと、１／７２の確率を求めて、後はそれを適用するとよいので、１／７２を、設問者は期待していたのだと、あとでわたしも思ったのですが、わたしの文章の読み方が悪かったのかも知れないですが、「設定する確率」と「設定される確率」は違う訳で、「２倍の差を付けて確率を設定すると、その結果、設定される確率を求めよ」だと、２倍の差を付けて設定した確率は、「個々のイヴェントの確率」で、そういう設定の結果、「設定される確率」とは、「１が左端に来るケース（全体）の確率」と読めたということです。

　　実は、「並びどうしにそれぞれ等しい確率を設定」のこの「どうし」は何故付いているのか、考え込んだのです。わざわざ「どうし」を付けているのは、個々のイヴェントを念頭し、「イヴェント同士」と読むのだと了解してみると、質問の部分には、もし「並びどうしに設定される確率」とか「並びそれぞれに設定される確率」なら、１／７２ですが、個々のイヴェントなら、この書き方なら、「１が左端にくる並びに設定された確率」というのは、「１が左端にこない並びに設定された確率の二倍」であり、それは自明であるとなります。

　　わたしの日本語の読み方がおかしいと言うのなら、間違いでも構いません。しかし、もう一度繰り返すと、「番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ」というのは、「個々の並び」の確率か、そういう「並びのケース」の確率か、必ずしもこれだけで、確実にそうだとは云えない曖昧な表現だと思います。文脈を考慮しても、わたしの読み方が、必ず排除されねばならないとは思えません。

　　（４）の問いの場合は、ケースの全体確率を求めたのですが、（３）で二つのケースを分けて計算しているので、５が左端に来るという条件を付けると、二つのケース分けの一方は、ありえなくなるので、個々の並びの確率を求めるという計算に進んでいたのだと云えます。

　　（「条件付き確率」などと言っているので、個々のイヴェントの確率だと思ったというのが妥当かも知れません。（２）も（３）も、実は「条件付き確率」を求める問題で、別の条件を付けると、それまで「確率」と言っていたのが「条件付き確率」となったので、幻惑されたのだとも云えます）。　

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　　＞左端に1がくる確立のところは理解できたのですが、
　　＞左端に1がこない確率を説明している所がいまいち理解できません。

　　これは、記法が分かりにくかったので、（２１）は、左端に、２が来て、その右の位置に１が来る並びで、（１２）は、左端に１が来て、その右に２が来る場合ですが、こういう場合は、確率設定が違いますから、この場合は排除しているのです。

　　（２３）（３２）（３４）（４３）（４５）（５４）も同じ意味で、混乱しているように見えるのは、（２３）は、２の位置に１が来て、３の位置に２が来ると言う意味なのです……（３２）は、３の位置に１，２の位置に２が来るという意味です……つまり（４５）などの４や５は位置の数字で、４か５の位置に１か２のおはじきがそれぞれ入る二つのケースを、こういう記法で書いたのです。

　　これが（１２）や（２１）だと、位置を示す１，２と、その位置にくるおはじきの番号１，２が明確に区別できないので、分かりにくかったのだと思います。どうも、不適切な表現で、申し訳ありません。

回答No.2

kony0

(2)は左端に１がくるような標本点「１つ分」に対する確率を求めろという問題だと思われます。
ということで、１が左端に来る確率1/3に、残りの４つの並べ方24通りを考慮した、1/72が答えになるのではないでしょうか？
つまり、P(1xxxx)=1/72（このパターンは24通り）、1以外のyに対してP(yxxxx)=1/144（このパターンは96通り）で、全確率が24/72+96/144=1となるという感じで。
(3)ΣP(12xxx) + ΣP(21xxx) + ΣP(左端が3-5でかつ1と2が隣り合う）を求めます。
第１項は、６通りあって、(1/72)*6 = 1/12
第２項も、６通りあって、(1/144)*6 = 1/24
第３項は、左端の選びかた３通り、残り４つの並べ方について、1と2が隣りあうのは、3!×2=12通りあるので、合計36通りだから、(1/144)*36 = 1/4
よって、1/12 + 1/24 + 1/4 = 3/8
(4){ΣP(左端が5かつ1と2が隣り合う）}／ΣP(5xxxx)を求める。
分母は、(1/144) * 24 = 1/6
分子は、(1/144) * 12 = 1/12（(3)の第３項の考え方を用いる）
ということで、(1/12) / (1/6) = 1/2

標本点と標本空間を考慮して、(2)以下を解くなら、1xxxxの標本を２つに「分身」させて、12345-(1), 12345-(2), 12354-(1), 12354-(2), ..., 15432-(1), 15432-(2), 21345, 21354, ..., 54321という、都合24*2+4*24=144個の「同様に確からしい」疑似標本点を考えて解く、という手法も考えられます。この144個をExcelかなにかで生成して、数え上げで解いてみても、案外理解は深まるかもしれませんよ。

＃急いでいて、適当な表記で説明あまりなしで書いたので、「自信なし」で(^^;)

回答No.1

starflora

標本点は、異なるイヴェントを一つの点とし、その集合が、可能なイヴェントの総数で、これが標本空間を構成するのです。

　　よって、（１）の答えは、５つの位置への五種類の異なるおはじきの順列となり、５！＝5*4*3*2*1＝１２０　です。

　（２）は面倒なことを言っているのです。単純に、まず、左端に１のおはじきが来る場合の数は、残り四つの位置を２，３，４，５のおはじきが占める順列ですから、４！です。もう一つの左端に１が来ない場合は、全体の可能な場合数５！から１が左端に来るケースの数４！を引いた数です。イヴェントに重みが付いていない場合は、

　　１）左端に１が来る確率＝場合の数／全体の場合の数＝４！／５！＝１／５
　　２）左端に１が来ない確率＝場合の数／全体場合数＝(５！－４！)／５！＝４／５

　　しかし、これは重みがイヴェントについていて、左端に１が来る場合が、そうでない場合より二倍の確率だというのです。これはイヴェントの起こる確率が二倍になるということで、ランダムにおはじきをならべると時、この配置の試行を無限に近く行って行くと、任意のｎについて（ｎは無限に近い数）、n[2*4! + 5!-4!] というようなイヴェントの分布が実現されるはずなのです。最初の 2*4! は、１が左端に来る場合で、後の 5!-4! が、１が左端に来ない場合です。全体の場合の数は、この場合、(2*4! + 5!-4!)＝(5!+4!)＝120+24＝１４４。他方、１が左端に来る場合の数は、2*4!＝４８。従って、１が左端に来る確率は、４８／１４４＝１／３。
　　答え：１／３

　　（３）は、また面倒な条件を付けているのです。位置を
　　１２３４５　とします。すると、１と２が並ぶ場合で、しかも、１が左端に来ない場合は、分かり易いように全部組み合わせを書くと：（２１）、（２３）、（３２）、（３４）、（４３）、（４５）、（５４）……分かりににくいですが、１と２が占める位置の数字で、（２３）と（３２）は、前者は、１が２の位置、２が３の位置で、後者はその反対です。これらの配列の総数は、３！を全体にかけて合計すると出てきます。７＊３！＝４２。ところで、これは、１が左端に来ない場合の１と２が並ぶケースの数です。この場合の可能な全体のケースの数は、１が左端に来るケースの４！を全体の５！から引いた数、つまり５！－４！＝１２０－２４＝９６。従って、４２／９６＝７／１６がこの場合の確率です。後で補正します。

　　上は、左端に１が来ない場合です。左端に１が来るのは、（１２）だけで、３！をかけると、６です。全体の場合の数は４！＝２４。従って６／２４＝１／４が確率です。

　　７／１６と１／４を合計すれば、求める答えが得られるかと言えば、そうはならないので、１が左端に来ないのは、２／３の確率です。また１が左端に来るのは１／３の確率です。これを掛け合わせて合計を取るのです。(7/16)*(2/3)=7/24。(1/4)*(1/3)=1/12。よって、(7/24)+(1/12)=9/24=3/8。
　　答え：３／８

　　（４）は、番号５のおはじきが左端に来るという「条件」を付けると、こういうケースでは、左端に１が来るということはありえないことになります。従って左端に１が来る場合だけの特別な確率は意味を持ちません。位置を２３４５とすると、組み合わせは（２３）（３４）（４５）とその逆の場合で、６通りで、２！をかけます。つまり１２です。全体の数は、４！（左端に５が来るので）。従って１２／４！＝１２／２４＝１／２。
　　答え：１／２

　　しかし、何かこれは別の答えがある可能性があるのです。つまり、面倒な話ですが、事象全体で、条件で、特定のものを選び、事象全体でのこの条件の確率を求めているとも云えるのです。この場合、全体の数は４！ではないのです。１が左端に来ない全体の数は、５！－４！で、１が左端に来る全体の数は２＊４！……結局、非常に多数の試行の後では、全体の数は、５！＋４！＝１４４。それに対し、条件の付けられたイヴェントの起こる場合の数は、１２。よって、１２／１４４＝１／１２が答えです。
　　答え：１／１２

　　なお、考え方はこれでよいと思いますが、計算が間違っているかも知れません。

補足

今、starfloraさんの（3）の部分を考えている所です。
左端に1がくる確立のところは理解できたのですが、
左端に1がこない確率を説明している所がいまいち理解できません。
申し訳ないのですが、もう少し詳しく教えてくださると嬉しいです。
宜しくお願いします。