どちらも文法的に正しいです。
「住ませる」 は 「住む」、 「住まわせる」 は 「住まう」 という、ともに五段活用の動詞に、使役をあらわす助動詞の 「せる」 をつけたものです。
「住まう」 はもともと 「住まふ」 と書き、 「住む」 に継続をあらわす接尾語(あるいは助動詞とも)の 「ふ」 がついて 「住みつづける」 ことをあらわしたのが、もともとの意味です。
「家」、 「住居」 のことを 「住まい」 ともいいますが、これは 「住まう」 からできた名詞です。「家はどこですか」 とたずねるのに尊敬語で 「お住まいはどちらですか」 といういいかたをするように、「住まう」 も 「住む」 を上等にした意味あいで使われることがあると思います。 「どちらにお住みですか」 でも正しい敬語ですが、 「どちらにお住まいですか」 のほうが尊敬の程度が高く感じられるし、よく使われると思います。
ご質問の 「住ませる」 と 「住まわせる」 にも、こうしたニュアンスのちがいはあると思います。
お礼
遅くなって申し訳ありません。 参考になりました。ありがとうございます。 確かに、「住まわせる」のほうが丁寧な感じですね。