第一；
疑問文の場合、什麼時候去？ 什麼時去？ ともに文法的には主語＋述語文で完結しており、書面口語共に使用可能です。後者はより多く『口語』で使用されます。正確を期せば什麼時,去？ と標点符号で区切られています。
思うに、中文学習途上で日常用語が耳から入る量より書面で見る量が圧倒的に多いからそう疑問に感じたのではないでしょうか（間違っていたらゴメンナサイ）（汗）。
什麼時は、几時ji3 shi2や何時he2 shi2と"同義語"です。
即ち几時去？ 現在几時？ などと使用します。日常口語的には什麼時去より几時去のほうを多用します。（中文においては、誤解がない限り簡潔文ほど良しとします）。
ちなみに什麼は古代口語でshen2 meと言いました（書面では甚麼と書く）。
また、甚麼時は甚時と省略されました。
甚時去？＝いつ行くか？ 甚時去北京？＝いつ北京に行くか？
（注：甚shen2は現代においても文語的用法で「なに・なぜ」で使用中。甚shen4は常用用法で「はなはだしい」という意味で使用中）。
ついでに肯定文においては、什麼時候去都可以。什麼時去都好。のように"都"などの副詞を伴って前文全体が主語構文を形成します。
都：全部、いつでも。
好：可能、よい。
第二；
退房的時候付銭：『CheckOutするという動作の、起点から終点のある時間内に支払います』。
つまり、CheckOut手続きをやり始めてから終了するまでの時間経過の途上で支払いますと言う意味あいです。
主に『口語』で多用されます。
時候は、ある時間経過のなかの段落（起点から終点）を表す名詞用法です。
例：下課的時候～（授業終わりのころ～）。回家的時候～（帰宅するころ～）。
"時候"という主語を"修飾する語"＝退房が前に有る場合は"的"を伴います。すなわち退房的時候の如く。退房時候とは言えません。
"時"の場合は不要。つまり退房時で"CheckOut時"という意味あいになります。
日本語でも"下校時""帰宅時""ご飯どき""睡眠時"と一言で言います。春爛漫の時候、結婚シーズンの時候、新入学の時候と"の"が附加され、春爛漫時候とは言いませんね。
退房時付銭：『CheckOutのときに支払います』。CheckOutという動作全経過を一塊の時間とみなして、そのときに支払うという意味合いです。
主に『書面用語』で多用します。
（ご質問例文の場合）の"時"は副詞用法で"時刻"の短縮形で、限られた時間、かつ短い束の間のことを表します。時候よりも短い段落時間です（文字通り刻まれたある時間段落のこと）。
（一般的"時"の名詞用法の代表例は、最好定時上課などです）。
ご質問文の"時"は"述語動詞"＝"付"の前にある用法で"付"の"修飾語"になります。したがってこの場合は"的"は不要です。
すなわち「支払うを修飾する"とき"」＝退房CheckOut時です。退房的時とは言えません。
例：下課時有下雨。下課的時有下雨とは言えません。回家的時候有下雨。回家時候有下雨とは言えません。それぞれ、中国人でも教育のない人、田舎の人は言う場合もあります（汗）。
口語文語の違い、習慣用法などを学習途上で探求すると面白くなります。
以上参考にしてもらえたら幸いです。
