二次関数 最小値と最大値

質問

y=(x＾2+2x+2)(x＾2+2x+3)+3x＾2+6x+5
上の関数の最小値とそのときのｘの値を求める問題です
(x＾2+2x)をAとおくと
A＾2+5A+6+3A+5で
A＾2+8A+11となり、これを平方完成すると
y=(A+4)＾2-5
ですが答えは最小値4となっていました
まったくわかりません
どなたかおしえてください

回答No.3

kohta83 · ベストアンサー

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A＾2+8A+11となり、これを平方完成すると
y=(A+4)＾2-5

ここまでの展開はあっていると思います。通常は、
(A+4)＾2 は０以上だから、Aを-４にしてこの項を消してしまおうとするわけですが、この問題の場合はA=x^2+2x ですから、これを-4にすることができません。
※ x^2+2x=(x+1)^2-1 より、Aの最小値は-1

ですからyの最小値は-5にはならないのです。

解答を得るためにはさらに展開を続けます。

y=(A+4)＾2-5

={(x+1)^2-3}^2-5

この第１項、{(x+1)^2-3}^2、は０以上ですから、ここが最小になるとき、yが最小になります。それはx=-1のときで、第１項は-3になります。

したがって、yの最小値は3^2-5=4

以上です。

回答No.2

postro

Aを平方完成してみます。
A=x^2+2x=(x+1)^2-1
Aの最小値は -1 です。
ここであらためて
y=(A+4)＾2-5
を見てみると、Aが-4にはなれないのでyの最小値は-5になれないのです。
yの最小値はA=-1のとき4になります。

回答No.1

agricap

y=(A+4)＾2-5
=(x^2+2x+4)^2-5
={(x+1)^2+3}^2-5
{}内の最小値は3(x=-1のとき)だから、最小値は
3^2-5=4
ですね。