因数分解・次数下げ

質問

こんにちは。学校の宿題で、センターの問題が出されたのですが教えて下さい。

1，Ａ＝ａ^3-8b^3+6ab+1の因数分解を考える。
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)であるから
　a^3-8b^3=(a-2b^3)^3+6ab(a-2b)
(a-2b)^3+1=(a-2b+1)^3-3(a-2b)(a-2b+1)
よって
A=(a-2b+1)^3-3(a-2b)(a-2b+1)+6ab(a-2b+1)
=（a-●b+■）(a^2+◎b^2+▼ab-a+◆b)

という問題なのですが、「よって～」から後の式がどこを元に組み合わさって構成されているかがわかりません。また●や■の所の式は上の式をどのようにすればいいのでしょうか。
長く読みにくい文章ですみません。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#20378 · ベストアンサー

a^3-8b^3=(a-2b^3)^3+6ab(a-2b)
だから
A={a^3-8b^3}+6ab+1
={(a-2b)^3+6ab(a-2b)}+ 6ab + 1
=(a-2b)^3 + {6ab(a-2b) + 6ab} + 1
={(a-2b)^3 + 1} + {6ab(a-2b) + 6ab}
={(a-2b)^3 + 1} + {6ab(a-2b+1)}

前半の項は
(a-2b)^3+1=(a-2b+1)^3-3(a-2b)(a-2b+1)
と分解できるから
A = {(a-2b+1)^3-3(a-2b)(a-2b+1)} + {6ab(a-2b+1)}
= (a-2b+1)^3-3(a-2b)(a-2b+1) + 6ab(a-2b+1)

a-2b+1でくくると・・・・

お礼

お答えして頂き有難うございました。
おかげで無事解決できました。

回答No.2

aco_michy

a^3+b^3+c^3-3abc=
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

という公式があります。
ご参考までに

この場合ですと、
a=a,b=-2b,c=1
のケースになると思います。

お礼

お答え有難うございます。
参考にして頂きました。