因数分解のコツ・・・

質問

以下のような因数分解が苦手です。
*2a(3)-16=0
*a(3)-a=0
*2a(3)-3a(2)+5=0
*2a(3)+a(2)+1=0
*2a(3)-5a(2)+4a-1=0

()内の数字は前のものが何乗されているかです。

解答をみてもこのようなレベルは省略してあるので…
やり方のコツがあれば教えてください。お願いします。

回答No.3

hika_chan_ · ベストアンサー

上から順番に1～5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね？
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう！
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける！と思って計算していきます。

2、あっ！これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここで、公式[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]を思い出して同じように元の式を変形
a(a^2-1^2)・・・公式に当てはめられるので、そのまま計算

3・4・5
これは、aでくくれないし、数字でもくくれないし、公式にも当てはめられそうにないから、
最後の手段
aにどんな数字を入れたら左辺＝０になるかを考えます。

私は、a=1,-1,2,-2,3,-3・・・と入れていきます。

例：5、
2a^3-5a^2+4a-1=0・・・aに何を入れたらいいかを考える
a=1の時：2-5+4-1=0・・・あっ、これで左辺＝０にできた。
そうしたら、次の作業をします。

2＿-5＿4＿-1 [1]・・・5の係数を書き出し、右側にa=1の1を書く
↓_2__-3___1 (+・・・・上の数字と左下にある数字を足し算していく
2__-3__1___0

法則わかりますか？？で、一番下の数字を使います。
右から0をのぞいて、a^0,a^1,a^2・・・の係数になっています。つまり、[2a^2-3a+1]・・（１）ということ
で、答えは、
(a-1)(2a^2-3a+1)・・・最初の-1はa=1の時の[1]の符号を逆にしたものを書きます。それと、（１）をかけたものが答え
そして、じつはまだ因数分解できます。
2a^2-3a+1・・・aに1を入れたら左辺＝０になりますよね？
同じように表を書いて計算すれば簡単に因数分解できます。
(2a-1)(a-1)
なので、答えは{(a-1)^2}(2a-1)ってなります。
このやり方は教科書のどこかに載っているかもしれません

回答No.4

freedom560

No.2の方が因数定理を用いればいいと説明されているのでその補足を・・

係数が全て整数の場合はまず定数項を見ます。（係数に分数がある場合は定数倍して係数を全て整数にしましょう）
そして一番高次の項の係数と定数項を素因数分解して全ての約数を求めておきます。因数定理でf(α)=0となるαを求める際は

α=定数項の約数/一番高次の項の係数の約数（±両方考えます。）

を代入していきましょう。候補は（因数分解の問題として出てくる中では）その中にあります。代入する順番は係数を見て判断します。

下の３つの問題で考えてみます。

2a^3-3a^2+5=0
まずは定数項を見ます。この例では5なので約数は1,5。一番高次の項の係数は2なので約数は1,2です。
つまりαの候補は
±1,±1/2,±5,±5/2 です。

で、2a^3-3a^2+5=0 の全ての係数を見ると2,3,5なので、定数項の5から2と3を引けば0になることが予想されますので、±1のどちらかということもわかります。2a^3を-2にしたいので、-1から代入してみることができました。つまり、(a+1)を因数に持ちます。

2a^3+a^2+1=0
まずは定数項を見ます。この例では1なので約数は1。一番高次の項の係数は2なので約数は1,2です。
つまりαの候補は
±1,±1/2 です。

で、2a^3+a^2+1=0 の全ての係数を見ると2,1,1なので、定数項の1から1を足して2を引けば0になることが予想されますので、±1のどちらかということもわかります。2a^3を-2にしたいので、-1から代入してみることができました。つまり、(a+1)を因数に持ちます。

2a^3-5a^2+4a-1=0
まずは定数項を見ます。この例では1なので約数は1。一番高次の項の係数は2なので約数は1,2です。
つまりαの候補は
±1,±1/2 です。

で、2a^3-5a^2+4a-1=0 の全ての係数を見ると2,-5,4,-1なので、全てを足してみたらたまたま0になっています。よって1を代入すれば0になることがわかります。つまり、(a-1)を因数に持ちます。

今回はたまたま±1でしたが、αの候補は
α=±定数項の約数/一番高次の項の係数の約数
（一番高次の項の係数の約数が1のときは±定数項の約数）
で絞られているのでf(α)=0となるαは比較的容易に見つかるはずです。

αが上記以外の場合はルートが含まれている時等で一応考えられますが、ちょっと難しいので因数分解の問題では出ないのではないでしょうか？（こんなことを書くと専門家の方に怒られるかもしれませんが・・）

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

共通因数でくくる。公式利用。　で、ひとつめ、ふたつめは出来ますね。

残りの３つは因数定理を使うしかないと思います。

回答No.1

ricanmuri

因数分解は初めて見た時、何でこんなものが解けるのか！脅威でした。
数をこなす　しかありませんね。
友人は当時発行されていた数学問題集の全てを読破するほどの
異常な奴でしたが、全国コンテストでベストテンに入るやぅな
優秀な奴でした。　彼はどんな問題でも一目見るなり回答をすらすらと書き始めるのです。　修練の賜でしょうね・・・。