何通りある？？

質問

２×２のマスがあります、マスは黒か白の２色
この場合マスの数が４　色が２色ということで
２の４乗ですよね。５×５のマスなら　２の２５乗
でも、

□□　□□　□■　■□
□■　■□　□□　□□

この場合だと回転させれば同じです。
２×２だと全部で６通りかな
５×５だと何通りになますか？

回答No.1

aqfe · ベストアンサー

なかなか難しいですね．
4つ重複するパターン，例えば
■□□□□　　□□□□■
□□□□□　　□□□□□
□□□□□　　□□□□□　　ほか２つ
□□□□□　　□□□□□
□□□□□　　□□□□□

2つしか重複しないパターン（２回対称といいます）例えば
■□□□■　　■■■■■
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　■■■■■

重複するものがないパターン（４回対称といいます）例えば
■□□□■
□■□■□
□□■□□
□■□■□
■□□□■

の３パターンに場合分けですね．
まず４回対称のパターンを考えると，かなり見づらいですが，
１２５３１
３４６４２
５６７６５
２４６４３
１３５２１

にて同じ数字が同じパターンのときのみ存在します．
なのでAのB乗をA^Bと書くと
2^7 通り．

２回対称はやっぱり見づらいですが（半角文字でズレてませんように…）
１２３1211
４５６10９
７８13８７
９10６５４
1112３２１

の時のみで４回対称は除かれるので
2^13 - 2^7　通り

2^13 - 2^7　通りというのは重複を別々に換算している，つまり

■□□□■　　■■■■■
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　□□□□□
■□□□■　　■■■■■

は別々に換算しているのでこれを2で割って（説明が下手ですみません）
2^12 - 2^6 通り

4つ重複するパターンは全パターンである2^25から上の二つ（重複を別々と
換算したほう）を引いて
2^25 - 2^7 - (2^13 - 2^7) = 2^25 - 2^13

やはりこれは重複を別々に換算しているので（ひとつの図形は他の3つと重複
しているのだから）4で割って，
2^23 - 2^11 通り．

まぁあとは足して，
2^7 + (2^12 - 2^6) + (2^23 - 2^11) 通りですね．

見落としがありそうで，ちょっと自信ないです．