円柱の体積

質問

円柱が横倒しの状態（ドラム缶を転がすときのような状態？）の場合で、中の容量がわかるように、円の面に目盛りを区切りたいのですが、その目盛りの算出方法がわかりません。
これが横倒しでなく、立っている状態(円の面が底と天井)だったら簡単なのですが…

久しく数学をやっていないので、わかりやすく説明していただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

回答No.5

N64 · ベストアンサー

体積は、円と直線で挟まれた範囲の面積から、求めることができます。計算式は、ここに載っています。計算結果まで載っているHPはないと思います。この計算式を使えば、Ｅｘｃｅｌを使えば、表を作れると思いますので、朝鮮してみるのも、よろしいかと思います。
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/heartkousiki.htm

お礼

回答ありがとうございます。
この公式、非常に参考になりました。
これなら私でもエクセルで処理できそうです。
ありがとうございました。

回答No.9

hkd9001

遅くなってすみません。＃３です。

いちおう、私の書いた積分を解いて整理すると

φ ＋ sin(2φ）= (PAI / 2) * (N / 5)
X = A * sinφ

となります。最初の式は、半円を５等分（つまり全体を１０等分）する場合のもので、N に１から５までの数を入れて、そのそれぞれについて φ を求めます（Excel のソルバーなどで）。それを２番目の式に入れると X が求まりますが、これが目盛りを書く場合の、缶の中心からの距離になります。これで出てくる数値が、＃８さんが出されているものと一致するのではないかと考えます。

お礼

回答ありがとうございます。
まだ私にはすこし難しいようです。
記号に疎くてすみません。
でも、エクセルを使って試してみます。
いろいろとありがとうございました。

回答No.8

banakona

意外に厄介ですね。
エレガントな回答があるのかもしれないですが、私にとっては解説を付けるのも面倒です。

てっとり早く結論だけ書きます。
円柱を地面に置いたとして下から直径の・・・
　０．１５６４７倍が容積１０％
　０．２５４０７倍が容積２０％
　０．２９８０１倍が容積２５％
　０．３４０１６倍が容積３０％
　０．４２１１３倍が容積４０％
　０．５倍が容積５０％　あっこれは明らかですね。
あとは上下対称に目盛りを打ってください。

お礼

非常に実用的な回答ありがとうございます。

この結論をもとに実際に計って見ます。
ありがとうございました。

回答No.7

ht1914

＃４のご回答の後半部分がいいと思いますのでその線で発展させます。

透明な円筒形の容器が手にはいるといいのですが。ふたが透明というだけでもいいです。その代わり秤が必要です。高さと直径の関係はドラム缶と同じでなくてかまいません。

円筒の容器に深さで半分水を入れます。真横にするとふたの中心を通るはずです。円の面積を半分にする線を引くことが出来ます。ふかさで１／４の場合は横にすると円の面積の１／４のところに水面が来ます。
これを繰り返すと円の面積の○／○というところに線を引くことが出来ますからドラム缶だけでなくどの様な円筒に対しても当てはまる関係が得られます。
後は円の面積と円筒の高さから具体的な数字にかえる作業だけですが電卓があれば出来る作業です。

透明な円筒を探すことが出来るでしょうか。
海苔の缶と透明な内ブタで出来るかもしれませんが水漏れのチェックはしていません。

念のために海苔の缶で１／２を入れる方法を書いておきます。いっぱい入れてふたをしたときの水の量を秤で量ってその目方の半分を入れるといいのですから簡単だと思います。台所の計量秤が使えます。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、海苔の缶なら実際にできそうですね。
これなら目安になりそうですね。

回答No.6

N64

また変換ミスで申し訳ありません。朝鮮してみる、は挑戦してみる、の間違いです。まさか、こんな変換ミスが出るとは、、、

回答No.4

vaio09

すこし応用が必要ですが、ここの解説も、役に立つと思います。
http://www.nikonet.or.jp/spring/encyuu/encyuu.htm

ここでは積分を用いていますが、円柱の場合は、単に高さ方向の積にすればよいので、「切断面の面積×高さ」で体積が出ます。
ですので、ご質問の件は「切断面の面積」の求め方さえ分かればあとはスンナリ行くと思います。つまり2次元の問題として考えればよいわけです。
（それでも積分の知識が必要ですけど）

数学が苦手でしたら、ドラム缶または似たような容器に、水を注ぎ入れてみて何秒注いだらどれくらいの高さになるか、を調べると、感覚的に分かりますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
すみません。
見てみましたが、私には少し難しいようです。
縦に置いておけば問題ないのですが…

回答No.3

hkd9001

こんにちは。

これは、円の方程式の、定積分になりますね～。

いま、半径Ａ、中心（０，０）の円の右上部分だけを考えます。

Ｙ軸からｘ＝a (０≦ａ≦Ａ)までスライスした面積は

［定積分することの、０からａ］（√（Ａの２乗 － Ｘの２乗）) ｄｘ

で求められます。これが均等に増えていく（目盛りだから）には、１番目、２番目…の
ｘの値をいくつにしたらいいか？という問題ですね。

なお、上記の定積分は、ｘ＝sinΘ（シータ）と置いて計算すると
楽みたいです。

ご参考になれば。もしご不明の点あれば、追加のご質問、お気軽にどうぞ！

お礼

回答ありがとうございます。

すみません、数学から離れて早十数年、すっかり数学の用語がわからなくなりました。

もし出来れば、具体的な数字を用いて説明していただけると、とても助かります。
お手数おかけいたしますが、宜しくお願いいたします。

回答No.2

N64

すみません、お分かりとは思いますが、機械郷学便覧は、機械工学便覧の間違いです。

回答No.1

N64

計算式を導くことは、そんなに難しくはないのですが、角度をパラメーターとして、水面の高さを求める式と、体積を求める式が出てきますので、EXCELか数表で、角度０から３６０度までの三角関数の値を計算してから、高さと体積を求めて、高さと体積の関係を数値で求める必要があります。数学が得意でないと、途中で計算の間違いも起こります。
私がお勧めする方法は、計算済みの表が掲載されている本を利用することです。水理公式集にも載っていると思いますが、私が持っている、機械郷学便覧の「数表、単位および物理定数・数学」の１－４５ページにも載っています。図書館には必ずある便覧です。

お礼

迅速な回答、ありがとうございます。
やはり数学苦手(10年以上昔は得意だったのですが…)なのに自分で計算するのは難しそうですね。
早速図書館行って来ます。
ただ、もしそのような内容のHPをご存知だったら、宜しくお願いいたします。