フェルマーの最終定理の目的ってなに？

質問

少し前にフェルマーの最終定理の事を調べたのですが、今一つ分かりませんでした。
難しい事は分からないのですが、フェルマーの最終定理の目的ってなんだったのですか？

回答No.7

stairway1970 · ベストアンサー

＞XのN乗*YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。
＞XのN乗/YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。

上記二つは、ちょっと考えれば明らかに「存在する」ので、価値ある問題にならないのです。一つめは
なんでもいいからXY=ZとなるX,Y,Zをとればいいだけですし二つめは何でもいいからX=YZとなるX,Y,Zをとればいいだけです。

>XのN乗-YのN乗＝ZのN乗、
>WのN乗+XのN乗+YのN乗＝ZのN乗 じゃダメなんですか？

上記の一つめは、移行すればXのN乗＝YのN乗＋ZのN乗になりますが、これは結局フェルマーの定理そのものです。　　　二つめはありでしょう。ただ、これについては、オイラーという数学者が「ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4を満たす整数解はない」という予想をしましたが、200年くらいして「2682440^4＋15365639^4＋18796760^4＝20615673^4」という反例が見つかってしまいました。　まあ、どちらにせよフェルマーの定理ほど美しい問題ではありません。

フェルマーの定理の価値は、おおまかには「それがシンプルで美しく、どこかしら根源的であること」と「成り立ちそうではあるがその証明がひどく難しいこと」とにあります。
どうも直感的にはこういうX,Y,Zは存在しなさそうであり、事実、非常に大きなNに至るまでそれは確かめられていきましたが、しかしどうしても「すべてのN」について証明することは出来ず、最終的に350年もかかってしまった。　なんで350年も数学者たちの興味をひいたのか？ただただ難しかったからです。逆に考えると、答えるのに350年もかかるほど奥の深い問題だったのです。
＞でも、なんで？存在してもいいじゃん。って思いません？
↑そうです。もちろん、存在してもいいのです。ただ、存在するならする、しないならしない、それを数学者たちははっきりさせたかったのです。
たとえ話ですが・・・「宇宙人がいるかもしれない。いないかもしれない。いてもいなくても人類の生活に何の影響もなく、実生活上なんの役にも立たないが、それでも真偽をはっきりさせたい。純然たる知的好奇心を満たすために。」といったところでしょうか

お礼

おそらく、過去の回答や、補足、お礼を読んでいただき、回答なさってくれたのだと思います。
また、厄介で稚拙な質問者である私の意図を汲み取っていただけて、本当に感謝しています。

>フェルマーの定理の価値は、おおまかには「それがシンプルで美しく、
>どこかしら根源的であること」と「成り立ちそうではあるがその証明が
>ひどく難しいこと」とにあります。

この３行が、私が望んでいた答えです。
私はプログラムを少しいじっていますが、「簡潔さ」と「できそうでできないもの」に、引かれるのはものすごくわかります。
これは人が興味を引かれるもっとも根源的なものかも知れません。

「だから、そう言ってたじゃん。」と思う人もいるかも知れませんが、数学に無知な私には、いろいろな説明の中に埋もれてしまって、見出すことができませんでした。
とても楽しい１日でした。回答なさってくれた方には、とても感謝しています。_(_＠_)_

回答No.6

puni2

質問者さんは「目的」だとか「意味」にこだわりすぎのように感じられます。

まあ，確かに小学校から高校までの算数・数学では，何か新しいことを学ぶとき，「これを学ぶとこういうことができる」といった面がかなり強調されています。
そして，方程式を学べば文章題が，図形を学べば測量などの応用問題が，微分を学べば速度などへの応用が，必ず出てきます。
でも，最先端の数学は，何に役立つかといったこととは関係なく，純粋に数学そのものを探求するのです。

No.2のお礼：
>単なる興味本意なら、何でもいいじゃないですか？
そうです。
数学者は昔からいろいろな未解決の問題に取り組んできました。
フェルマーの定理に限った話ではありません。何でもいいんです。
ちなみに，「本意」じゃなくて「本位」です。

>３５０年も数学者の興味を引いた理由が分からなくって。

数学者の興味を引いたというよりは，数学者以外の「アマチュアで数学が好きな人々」の興味を引いたんです。
数学者が興味を持って取り組んできた未解決の問題は，フェルマーの定理ばかりではありません。他にも，未解決の問題・予想は山のようにあります。
ただ，フェルマーの定理は，表現が簡潔で，一般人にもその意味が分かりやすいので，一般受けしやすかったという，それだけのことです。

>それに「証明する事は無意味」って事に落ち着かなかったので、証明する意味・理由・こだわりはあったと思うのですが、それが分からなくって。

数学者にとって，「証明することが無意味な問題」なんて存在しないと思いますよ。
証明されていなかった問題が証明されれば，そのこと自体に意義があるし，またそれが嬉しいんですよ。
知的好奇心というヤツです。

どうも質問者さんは，物事を役に立つ・立たないだけで判断する傾向があるように見受けられます。

No.4の方が
>これらの研究結果は人間の役にたつものが多いのですが、
>それは単に結果であって数学者にとってはおまけではないでしょうか。
と書かれているのに全く同感です。
人間の役に立つかどうかは，後からやってくるのです。
そして，役に立たなくても，「数学の進歩」の役に立つのです。

たとえば，ブール代数と呼ばれる数学の一分野があります。
1と0という2つの数だけを考えて，我や積などいくつかの演算を行ないます。
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1
0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1
ブールさんが150年ぐらい前にこれを考えついたときは，「だから何？」という反応が多かったのではないでしょうか。
ところが，今ではデジタル回路や情報検索などを学ぶ人にとっては欠かせない基礎知識になっています。
ブール代数がなければ，コンピュータも携帯電話も存在しなかったでしょう。
あんまり，「定理の意味」とか「役に立つ」とかにこだわりすぎないほうがいいように思います。

>フェルマーの最終定理が
>のN乗＋YのN乗＝ZのN乗
>ここでNは３以上の自然数を満たす自然数X,Y,Zは存在しない。
>というのは、分かります。
>でも、なんで？存在してもいいじゃん。って思いません？

そうですかね。
フェルマーの定理の場合は，「条件を満たす自然数解は存在しない」というふうにフェルマーが本の余白に書き込んだことから，みんながそれを証明しようと考えたわけですが，仮に「条件を満たす自然数解は存在する」というふうにフェルマーが余白に書き込んでいたとしても，その後の数学者は同じような道筋をたどったと思いますよ。
なぜなら，いろんな自然数を入れて試してみると，全然ダメなので，解はなさそうに思えるからです。

>歴代の数学者たちは存在しないことに意味を見いだしたんですよね？

違います。
単に「存在しないみたいだ」と予想されたので，それを証明しようと思っただけです。

お礼

お礼と補足が変則的ですが、回答していただいたみなさんに感謝しています。
私の精神状態もありますが(まぁ、諸事情で多少不安定なので)、更なる解答がほしくあおった内容もありました。
その点で、怒りを覚えた方には、申し訳ないと思っています。(ｗ

puni2さんと、stairway1970さんのおかげで、うっすらと思っていたことを後押しされた気分です。

>フェルマーの定理は，表現が簡潔で

N乗＋YのN乗＝ZのN乗　で
N乗－YのN乗＝ZのN乗　じゃないのは簡潔さという理由もありますか？
それともピタゴラスの定理が＋だからかな？

オイラーのこの世で最も美しい式(？)
e^iπ+1=0
を、見た時はこじつけじゃん、と思ったのですが、簡潔さというのはわかります。

前に、解答していただいたceleryさんのクイズという表現も

>なぜなら，いろんな自然数を入れて試してみると，全然ダメなので，解はなさそうに思えるからです。

というのを見ると、言いたかったことがわかる気がします。

最後に、役に立つ・立たないには、特にこだわったつもりはありませんが、目的には興味がありました。
目的というか、発端に。
フェルマーがなぜ、XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗にしたのか。
なぜ、数学を好きな人が興味を持ったのか。

簡潔さと、解はなさ”そう”に思えるから、みんな証明しようとしていたんですね。(たぶん。)
これも立派な目的だと思うけど。感謝♪

回答No.5

celery

No4.です。
>クイズって事は、正解があるって事ですよね。
>それが、答えは存在しない。って答えでも。
>答えが存在しない場合でも、クイズ自体は意味が通っているんですよね。
数学の矛盾の無い公理系には、少なくとも1つ正しいのであるがその公理からは証明できない定理が存在します。興味があったら「ゲーデルの証明」を調べてください。だからクイズなのですよ。ただし答えはないかも知れないし、無い事の証明もできません。
>例えば、「足が４本しかない昆虫っている？」
>答えは、存在しない。虫の定義からはずれるから。
>でも、質問の意味はわかりますよね？
残念ですがわかりません。定義は定義であって公理ではないのです。
>数学に無知な私には、クイズ自体の意味がわからないんですよ。
クイズの意味は分からなくても答えはご質問者様が知っている通り
フェルマーの最終定理そのものがクイズで
XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗
　ここでNは３以上の自然数を満たす自然数X,Y,Zは存在しない。
です。
最終定理という言葉自体がおかしくて、昔は公理系で証明されていないので「予想」くらいが適当だと思います。
>XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗これは、何を表しているんですか？
そのままです。
>なんでXのN乗＋YのN乗＝ZのN乗 なんですか？
意味はないです。
>XのN乗-YのN乗＝ZのN乗、
>WのN乗+XのN乗+YのN乗＝ZのN乗 じゃダメなんですか？
だめでしょう。成立しないと思います。

補足

お礼か・補足に書き込んだのですが、書き込まれていないことにショックを覚えつつ。

私の中で私なりの答えが見つかりつつありますが、

>>WのN乗+XのN乗+YのN乗＝ZのN乗 じゃダメなんですか？
>だめでしょう。成立しないと思います。

成立しない、というのは予想ですよね？
証明しなくてもいいのですか？
歴代の数学者たちがなぜ”XのN乗+YのN乗＝ZのN乗”の証明に躍起になったのに興味を覚えたんですよ。

、、、たしかこんなことを書いたような。（ｗ

回答No.4

celery

数学は公理という決め事をして、それを前提として定理を導いて行きます。
その結果多くの定理が生まれて一つの研究分野になります。身近なものとしては代数学とかユークリッド幾何学などです。
これらの研究結果は人間の役にたつものが多いのですが、それは単に結果であって数学者にとってはおまけではないでしょうか。
数学者が研究する理由は好奇心だと思います。クイズの答えを見つける事と同じです。
前置きが長くなりました。
>フェルマーの最終定理の目的ってなんだったのですか？
定理に目的はありません。
定理を証明するしようとする人は、単に証明したいからというだけの目的を持っています。特にフェルマーの最終定理は特に難問として有名ですから、証明できればエベレストにたった一人で登頂するくらい?の満足感と栄誉が得られるからでしょう。

補足

クイズの答えっていうのが、よく分からなくって。
クイズって事は、正解があるって事ですよね。
それが、答えは存在しない。って答えでも。
答えが存在しない場合でも、クイズ自体は意味が通っているんですよね。

例えば、「足が４本しかない昆虫っている？」
答えは、存在しない。虫の定義からはずれるから。
でも、質問の意味はわかりますよね？

数学に無知な私には、クイズ自体の意味がわからないんですよ。
フェルマーの最終定理のクイズの概要はなんですか？

XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗
　ここでNは３以上の自然数を満たす自然数X,Y,Zは存在しない。

XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗これは、何を表しているんですか？
なんでXのN乗＋YのN乗＝ZのN乗 なんですか？
XのN乗-YのN乗＝ZのN乗、
WのN乗+XのN乗+YのN乗＝ZのN乗 じゃダメなんですか？
と、思った訳ですよ。（ｗ

回答No.3

ken1tar0u

どうも御質問の「目的」の意味が良くわかりません。「ピタゴラスの三平方の定理の目的」だったら質問者さんはどう答えますか？ それに応じて「フェルマーの最終定理の目的」もお答えできるかもしれません。あるいはなぜ「フェルマーの最終定理のことを調べ」ることになったのか、その事情を聞かせていただけたらお答えする参考になるかも。

お礼

「ピタゴラスの三平方の定理の目的」は、
a2＋b2＝c2 ならば、直角三角形って事じゃないですか。
直角三角形　だから、a2＋b2＝c2 となるかもしれませんが、
少なくとも意味はありますよね。
直角三角形だった場合、２方が分かっていれば、最後の１方は数式で求められる。
これは意味がありますよね？

フェルマーの最終定理が
XのN乗＋YのN乗＝ZのN乗
　ここでNは３以上の自然数を満たす自然数X,Y,Zは存在しない。
というのは、分かります。
でも、なんで？存在してもいいじゃん。って思いません？
歴代の数学者たちは存在しないことに意味を見いだしたんですよね？
「存在はしないはず。」でも、証明は難しいなー。と思ったんですよね。
少し違いますが、「神は存在しないはず。」でも、証明は難しい。
じゃー、俺が証明してやろうじゃん、って。
350年間も解けなくって。

XのN乗-YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。
XのN乗*YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。
XのN乗/YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。
　じゃダメなんですか？

ダメな理由は、「XのN乗+YのN乗＝ZのN乗　は存在しない。」に意味があるか、上記の例はすでに証明されているとか。

http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1858700
興味を持ったのは、この質問に答えてからです。
自分なりに調べたのですが、数学の成績は悪かったので、あっているかどうかが微妙でして。（ｗ
まぁ、知的好奇心ですよ。

回答No.2

BLUEPIXY

（こういう形の数式の一般解があるか？という）単なる興味本位だと思います。

お礼

単なる興味本意なら、何でもいいじゃないですか？
３５０年も数学者の興味を引いた理由が分からなくって。
それに「証明する事は無意味」って事に落ち着かなかったので、証明する意味・理由・こだわりはあったと思うのですが、それが分からなくって。

回答No.1

orangeapple55

「フェルマーの最終定理を解いたらこんな便利なことがありますよ」ということではなくて、
ただ証明することが目的だったんじゃないかなぁ…

天才のガウスさんはあんまり興味なかったみたいだけど…

でも最終的には、
この問題を解く過程でいろんなテクニックとかが生み出されて、
数学界にとってはとっても有益だったみたいだけど。

以上、啓蒙書程度の知識でしたｗ

お礼

私も少し調べた結果、どうやらフェルマーっておっちゃんは、いたずら好きで、これって証明できる？と各数学者に持ちかけていたそうです。
その一つがフェルマーの最終定理だったとか。
でも、なんでこれって証明できる？って思いついたのが分からなくって。

例えば、俺の性格と血液型って数学で証明できる？と数学者に言っても、それは無意味ってなるでしょ？
少なくともフェルマーの定理にも数学的に意味があったのかと。
意味というか解く理由。

ちなみに、私が調べた事は
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1858700
に書いてあります。
が、書いてある事が正しいのかも、ぴんとこなくって。
認識としては、orangeapple55さんと同じくらいです。
ありがとう～♪