最適化問題

質問

資源採掘現場,消費地,運送会社の場所が固定されているとします。この条件で工場を作る場所を最適に選ぶための考え方・方法を教えてください。パラメタライジングもどのようにしたら良いでしょうか？

回答No.3

Ideasforlife · ベストアンサー

ちょっと表記を変えますが
　工場の立地 p
　採掘場所 s
消費地 d = (d_1,d_2,...,d_N)
とするとき、コスト C = F(p,s,d) とかけるという意味ですね？
関数 F() の形が具体的に与えられるならば、解析的に解けて、最適立地 p を数式で与えることができるかもしれませんね。ただ、コストが時間の関数になってしまうと、最適立地 p も時間の関数になるので、これは現実的ではないでしょう。

考え方としては、
平均の輸送コストが、距離に比例するとして、Ｆを 工場と採掘場所の距離、各消費地と工場間の距離に関する式で与え、この最小値を見つけるような形にするのが、出発点です。
工場～採掘点の輸送コストと　工場～消費地の輸送コストが同じであれば、幾何学的な考察だけでも解はわかりますが、これは一般には成り立たない条件ですので、きちんと計画問題として定式化して解を求める方がよいです。

　s - pの距離を与える関数を g(s,p)，輸送コストの比例定数をρ　
　d_j - p の距離を与える関数 h_j(d_j,p)，輸送コストの比例定数をγ
とするとき
　C = F(p,s,d)=ρg(s,p)+γ(h_1(d_j,p)+...+h_N(d_j,p))

この最小値を求めるために　Fをpで偏微分して　＝０とおいた連立方程式を解けば解を得る．．．というような流れになります。
これは、g(),h_j()の形次第で、やさしくなったり難しくなったり、解けなかったりします。
要するに砂漠みたいなところで、直線距離で移動できるなら簡単ですが、現実の問題ではルートの取り方に依存するので、gやhの関数形が定まりません。
また、工場～消費地の距離には、納期などの制約をつけることもありますし、どこまで厳密にモデル化するのか？というさじ加減も問題依存で、一般論は難しいです。

お礼

ありがとうございます。
大変参考になります。
これからも大切な数学を勉強しつづけるようにします。

回答No.2

A_M_K_

パラメタライジングの意味は検索しても判らなかったので、単純に考えます。

資源採掘現場,消費地,運送会社の有る場所を頂点とした三角形を考え、その中心点に作れば、三箇所のどの位置からも近いと思います。

お礼

ありがとうございます。
この中心点とは内心のことでしょうか？

回答No.1

Ideasforlife

最適配置の問題ですが、これは、具体的な問題でしょうか？
それとも、何かしらの練習課題か、思考実験でしょうか？
問題の質がわからないので、考え方を回答するのは、ちょっと難しいと思いますが．．．一般的なことだけコメントしておきます

最適性の基準を決めてください。この場合は、おそらく、輸送コストや納期が重要になると思いますが、工場の立地によるランニングコストも大事です。
次に、制約条件を定式化しましょう。こちらも、納期やコストなどが絡んでくるでしょう。
工場の立地は、用地取得から考えれば、何を変数に取っていいのか？から考えないといけないような気がしますが、単に採掘現場・消費地からの距離で解が与えられればよいという問題ならば、比較的易しい問題と思いますが、補足いただければ、もう少し何か回答できるかもしれません。

お礼

ありがとうございます。もっと問題を定式化したいと思います。

場所p,時刻tにおける工場立地コストをC(p,t)とします。
一方C(p,t)は採掘場所p1,消費地p2,・・・,pKの取り方にも依存するので
　C(p,t)=F(p,t,p1,p2,・・・,pk)
と表せます。このとき時刻tにおいてC(p,t)を最小にするpは数学的にどのように表すことができるのでしょうか？
あるいは，その求め方を教えてください。