「１＝０．９９９・・・」？

質問

塾講のバイトをしています。
数学で循環小数の分数化のところをやっていて思い出したのですが、
たとえば、１．１１１・・・という循環小数を分数にする際
X＝１．１１１・・・とし、１０X＝１１．１１１・・・としてから
１０X－X＝１０．０
　　　X＝１０/９
となり、これはこれでいいのですが、０．９９９・・・で同じことをすると
「１＝０．９９９・・・」となってしまいます。
これは僕がまだ高校生だったときに妹に質問されて気がついたのですが、
久しぶりに思い出しら、やっぱり気になって仕方ありません。
僕は文系なので高校程度の数学までしかわかりません。
よろしければ教えてください。

回答No.5

redbean · ベストアンサー

「１＝０．９９９・・・」は正しい式です。

背理法によるアバウトな証明をしてみましょう。

もし、1≠0.999…だと仮定すると、
その差 1-0.999… = a
は正のゼロでない数である。

a を小数で表すと、0.000… と続きそうであるが、
ある桁でゼロでない数が表れるはずである。

さて、ここで循環しない小数を使い、
1-0.999…9 = b
を考える。
左辺の 9 の個数を好きに選べるとする。
b は 9 の個数に応じた 0.000…1 という形になる。

このとき 9 を充分な個数使えば、
a より小さくすることが可能である（a は小数点以下の
ある桁でゼロでなくなるのだから）。
すなわち、 a > b である。

しかし、
0.999…（循環する）> 0.999…9 （循環しない）
であるから、a < b となって矛盾が生じる。
この矛盾は 1≠0.999… の仮定が間違っているからである。
すなわち、1=0.999… は正しい。

あくまでアバウトですが。

回答No.2

Naodon1020

>1=0.9999・・・・（無限に続く）は、正しい等式だと思います。

そのとおりです。
むすかしい分析・証明は過去の質問・回答にあるので省略しますが、
単純に言えば、
例えば、小数第5位でカットすると、
1＝0.99999…0.0001ですから、0.99999＋0.00001＝1です。
よって、1＝0.999999・・・です。

回答No.1

noname#136764

1=0.9999・・・・（無限に続く）は、正しい等式だと思います。

同じ対象を、1と書くか、0.999・・・（無限に続く）と
書くか、表記の仕方が違うだけです。

たぶん（笑）。