長方形平板のせん断応力分布について

質問

４辺を固定した長方形平板に，ある力Ｆが一様に掛かっているときの辺上のせん断応力の分布を求めたいのですが，何か式とかありますか？
教えてください．

回答No.2

k_riv · ベストアンサー

多分，長方形平板の支配的な応力は，曲げモーメントであって，曲げモーメントに関して検討しておけば，せん断力応力の検討は，ほとんどの場合省略しても問題ないくらい曲げモーメントに比較して小さい。というのが，いろんな文献にせん断力の算定式が書いていない理由だと思います。確かに，所蔵しているいくつかの書籍を見てみましたが，算定式の書いてあるものはありませんでした。

こんな場合は，自分で算定式を作るしかありませんので，その簡易的な方法＝クロス梁にモデル化する方法を書いておきます。

４辺固定長方形平板（Lx,Ly)に等分布荷重(q)が作用する場合の，任意点（x，y)を通る単位幅のクロス梁において，X方向梁が負担する等分布荷重（qx)，長さ(Lx)，作用点(x)，撓み(wx)は，

wx=(qx・Lx^4)/(24EI)・((x/Lx)^4－2(x/Lx)^3＋(x/Lx)^2)　　・・・式(1)

で，計算できます。また，Y方向梁は，（q-qx)，(Ly)，(y)，(wy)として，式(1)と同様に(wy)を計算します。ここで計算した撓みは，クロス梁の交点なので，同じ撓みになります。よって，

wx=wy　　・・・式(2)

が成り立たなければならないことになります。式(2)を整理すると，

qx=β・q　　・・・式(3)
qy=(1-β)・q　　・・・式(4)

を得ることが出来ます。
この（β）がX方向梁の荷重分担率で，例えば，中央点（Lx/2,Ly/2)を通るクロス梁でLX=LYの場合βx=βy=0.5になり,　Lx<Lyならば,βx=(Ly^4)/（Lx^4+Ly^4),βy=1-βxになります。

式(3)を用いて,X方向の応力計算を,式(4)を用いてY方向の応力計算をすれば，任意の位置のクロス梁の応力分布を計算することが出来ます。

X方向のせん断力の計算式は，
Qx=(qx・Lx)/2・(2(x/Lx)-1)
Y方向は,
Qy=(qy・Ly)/2・(2(y/Ly)-1)
です。

EXCELなどで（0＜ｘ＜Lx)で適当に分割して,連続的に計算させれば，相当な計算量を覚悟して，長方形版の全体的なせん断応力の分布も計算できると思います。分割数が少ないと計算結果の精度は落ちますが,実用上は問題ない程度の計算は出来ると思います。
特徴的な点だけでよければ，中央点位置を通るクロス梁の計算だけでも良いと思います。

また,使用した計算式は，弾性曲線の微分方程式を用いて私が解いた式ですので,もし,予想外の計算結果等が出たら,計算違いの可能性もありますので,再確認してください。

お礼

クロス梁として計算するのが簡単で精度が良いのですね．やってみます．
大体知りたいことが分かりました．
ありがとうございました．

回答No.1

k_riv

長方形平板の応力算定は，面外，面内の変形に拘らず，一般に2方向の相互関係によって左右される，所謂，「2次元問題」になりますので，一義的に（簡単な算定式で）曲げモーメント分布やせん断力分布を算定するのは困難です。

通常は，微小面積に作用する微小分布荷重と板の剛性と変形の関係を微分方程式で表現し，その平板の境界条件の下で解き，変位（撓み）を求めます。求まった変位と応力の関係を用いて，微小要素の応力→曲げモーメント，せん断力等を算定します。
撓みの基本公式　∇^4・w=p/D
せん断力　　　　Qx=－D・(d/dx)(∇^2・w)
　　　　　　　ただし，∇：ナブラ，w：撓み，D：板剛性
ただし，この式は，手計算で解くのは，まず時間的に，且つ労力的に無理なので，コンピュータ解析ソフトを用いることになると思います。

面外変形をする長方形平板の場合，簡易的な方法として，平板を格子梁にモデル化し，格子の交点のx方向とｙ方向のたわみが同じであること（δx＝δy）を利用して，同じたわみを示す時の，それぞれの方向の負担荷重を算定し，応力を計算すると言う方法もあります。

例えば，スラブの中央点に着目し，中央点を含むクｘ，ｙそれぞれの方向の応力をクロス梁と仮定して算定するというのが，日本建築学会のRCスラブの応力計算の方法で，この格子梁にモデル化する方法に当たります。

このとき，着目点を中央点のみでなく，せん断応力分布の精度を考えて，着目点を増し（クロス梁の数を増し）計算すれば，計算できないこともないとは思います。ただし，中央点以外では，算定する交点のお互いの梁のたわみによる撓み角の影響を考慮する必要がありますので，やはり，簡単には計算できないかと思います。影響はないと仮定すれば，精度は落ちますが，多少は楽になるかものしれませんが・・・
この方法も，多分，EXCELなどを用いないと，いや，用いても計算するのは大変ですね。他の人が作ったものを使えば，多少楽でしょうが・・・

私は，板構造で応力分布などの詳細な計算データが欲しい時は，最初に書いた方法で，有限要素解析を行います。

私の専門に沿って書きましたが，他の専門分野においても板構造に関する基本的な考え方は同じです。
念のため，参考文献を挙げておきます。
建築構造学３　板構造　内藤多中監修　鹿島出版会

回答が，なかなかつかないので，質問者さんの求めるものと，多少意味が違うのかな，と思いつつ，アドバイスしました。

お礼

いえいえ，こういうことが知りたかったんですよ．ありがとうございます．
そう簡単には求まらないということですね．

k_rivさんは専門家ということでついでに質問しますが，せん断応力の分布全部ではなくても，特徴的な点（頂点，辺の中点など）のせん断応力が載っている参考文献などご存知でしたら教えてください．
ちなみに曲げ応力分布の場合では，特徴的な点の式を見つけることができました．

お礼ではなくなってますが，よろしくお願いします．