Mはマルチンゲール。M^2は？？
M=(M(n)),n≧0は （Ω,F,F(n),P)においてマルチンゲールだとします。
M(n)∈L-2, ∀n。 TとSは有界かつ停止時間です（Ｓ≦Ｔ）。この時、E[ ( M(T) - M(S) )^2 ] = E[ M(T)^2 - M(S)^2 ]を証明せよという問題なのですが、この証明の中で分からないところが一つあります。一応、証明を下に書きます。
E[ ( M(T)-M(S) )^2 ] (1)
= E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 ] (2)
= E[ E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 | F(S) ] ] (3)
= E[ M(T)^2 - 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] + M(S)^2] (4)
= E[ M(T)^2 - 2M(S)^2 + M(S)^2 ] (5)
= E[ M(T)^2 - M(S)^2 ] (6)
分からないところは、(3)から(4)にかけてです。(3)から(4)を細かく書くと、
E[ E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 | F(S) ] ]
= E[ E[M(T)^2|F(S)] - 2 E[ M(S)M(T) | F(S)] + E[M(S)^2 |F(S)] ]
= E[ M(T)^2 - 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] + M(S)^2]
になると思います。
2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ]が成り立つのは、Mがマルチンゲールであるのと、S≦Tであるからだと思うのですが、
なぜ、E[M(T)^2|F(S)] ＝ M(T)^2 がいえるのでしょうか？
同じように、なぜ E[M(S)^2 |F(S)] ＝ M(S)^2 が成り立つのでしょうか？ 自分の考えでは、M^2はマルチンゲールでない、もしくは、M(T), M(S)はF(S)に独立であるからのどちらかではないかなと思うのですが、その場合、どうやってM^２がマルチンゲールでないのか、もしくは、それらがF(S)に独立であるのかが分かるのか教えてください。もし他の理由であれば、その理由をご教授ください。
お礼
有難うございます。疑問が解けてすっきりしました。