円の面積について

質問

円の面積を求める時に円周率を使いますよね。
そして円周率は無限に続きますよね。
って事は、円の正確な面積って求められないんですか？

それとも、円周率が無限に続く以上、正確な真円などと言うものは存在しないのでしょうか？

回答No.14

ency · ベストアンサー

No9 ency です。

> なぜ円周率が無限に続いてしまうのか？
> と置き換えてください。

数直線上で考えてみましょう。
円周率πの位置は一点に決まります。
それは良いですか？
「○○～△△の範囲のどこか」
というあいまいな話ではなく、きちんと一点に決まるのです。

その点を10進数の目盛に当てはめてみたときに、その目盛をどこまで細かくとっても、πの点が目盛上に乗らないというだけのことです。

> しかし、真円は現実世界に存在しないので、現実世界にある、正１００億角形や、
> 正１兆角形の円ならば、円周率も有限になるのでは？と思うのです。

果たしてそうでしょうか。
正三角形を考えてください。
この場合、一つの頂点から対辺への垂線が直径に相当することになると思いますが、この場合ときの円周率に相当する値が有限小数になるのか、無限小数になるのかは、簡単に確認できると思います。

roop11 さんの主張は、無限小数は長さとして適切ではない、ということなのでしょうか。
もしそうであれば、たとえば 1/3 = 0.33333… も長さとして適切ではないということになりますが、そんなことはありませんよね？
最初にご説明しましたとおり、10進数の目盛上にうまくのらないだけで、数直線上の一点を指していることに違いはありません。

長さとは、数直線上の2点の最短距離ですから、長さが無限小数になったとしても問題なないわけです。

それを正確に再現できるかどうかは、また別の話です。
その場合については、No9 で説明したとおりです。

こんな説明で、おわかりになるでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

下で正１００億角形や正１兆角形・・・とか言ってしまいましたが、そもそもこの考えが間違ってました。
円に限りなく近い多角形なら、周の長さは一辺の長さ×角の数で正確に出せると思ったんですけど、
円周の長さは、内接する多角形と外接する多角形の周の長さの中間地点のどこか、って事みたいですね。
ていうか、そもそも多角形はどこまで行っても多角形で、円にはなりませんよね。

内、外接する多角形の角を増やせば増やすほど、正確な円周の長さに近づいていくが、多角形はどこまで行っても多角形なので、正確な値を求める為には、角を無限に増やさなければならない。
なので、円周率も小数点以下無限に続いてしまう。
無限に続いてしまうが、円周率は定数として実際に存在し、円周の長さも円の面積も数直線上の目盛りには乗らないだけで、数直線上のどこか一点に存在する。

って事でいいんでしょうか？

回答No.4

tiltilmitil

それは単に長さを基準にしているからでしょう。仮に「正確に面積100平方センチメートルの円」があったら、無限に続く数字が出るのは半径の方になります。これをもって「円の半径の正確な長さは存在しない」といえるでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

厳密に長さを計るとエンドレスに続いてしまいますね。
もうなんか訳が解らなくなってきました。

回答No.3

takikun70

コンパスで半径５センチの円を書いたとき，鉛筆またはペンで，線（円弧）が描かれますよね。
この鉛筆（ペン）を顕微鏡で拡大してみたことありますか？
一本の黒い線に見えるけれども，拡大されてみると，その縁はギザギザで，１００円玉の縁のようにでこぼこしてます。

そのため，その鉛筆（ペン）で囲まれた白い部分の面積を求めようと思うと，誤差はつきものなのです。

ですから，いくら　３．１４１５２６５３５と小数点以下の桁数を多くして計算しても，
その面積には誤差が含まれます。

そこで，一般的には小数第二位の３．１４を使っているわけです。

もちろん理論上は，２５πですが，
正確に面積が２５πの円を描こうと思っても，線の太さやギザギザのために，正確にはならないのです。

お礼

回答ありがとうごさいます。

誤差が全く無い場合はどうなるんでしょうか？
現実的にありえないかもしれませんが・・・

誤差が全く無い場合、三角形や四角形は正確な面積がだせますよね？

でも円の場合円周率が無限に続くので・・・正確な面積は出せない？？？

回答No.2

higenotojo

「正確な面積」とは何かという定義の問題でしょう。
「数字にして書き出す」という意味では無限に続くものを書き尽くすことはできません。
ただし、「円の面積は何か」ということになると、「半径×半径×３」や「半径×半径×３．１４」ではなく、正確に「半径×半径×円周率」となります。

また、「真円」は理想的な円のことなので、「円周率が無限に続く」こととは無関係に現実には存在しません。同様に、「直線」や「線分」も現実には存在しません。

お礼

回答ありがとうございます。

ちょっと解らないのですが、例えば、コンパスで直径５センチの円を書いたとします。
この円の面積はどうなるのでしょうか？
半径×半径×π＝２５πって事で、コンパスで書いた円でも正確な面積は出せないんですか？

補足

すみません。直径５センチではなくて半径５センチでした。

回答No.1

Zero-Wing

『正確な真円』というものは現実的には存在しません。それは想像上では存在しえますが、現実的にそのようなものを作る（描く？）ことはできないと思います。
円の正確な面積ですが、どのようになれば求められると言えるのかわかりませんが、求めてもその面積も永遠に続く値になります。

お礼

回答ありがとうございます。
正確な真円は存在しないんですね、やっぱり。

コンパスなどで書いた円なんかも正確な面積は出せないんですか？
コンパスで書いた場合、正確な真円にはならないので、円周率も有限なんでしょうか？