原点が複数存在する座標系は可能ですか?

質問

普通のxy軸を持った座標は二本の直線が交差しているかたちで原点がひとつだけありますが、いま円を描いて、この円に内接する形で星型を描くと二本の線分（？）が交差する点が１０個できますが、これは全て同じような原点の資格を持っているように思われます。このような複数の原点を持った座標を使っていろいろな関数のグラフを描くと全く違うものになりそうにも思うのですが、どうなのでしょう。

回答No.5

shkwta · ベストアンサー

たとえば、次のような曲線はどうでしょうか。
(x^2-1)*(y^2-1)=1/10
これは５つの曲線の組で、１つは４本の直線にそってぐるっと回る閉曲線、あとの４本は各直線の漸近線。双曲線に似ているが、双曲線ではありません。

ボール状といえば、双曲線を閉じさせるには射影平面というものがあります。
（これは厳密な説明ではありません）

平面の原点に、半径1の球を載せ（球と平面は原点で接している）、平面の任意の１点Ａと球の中心Ｐを通る直線を引きます。ＡＰと球面の交点（２つある）をＢ,Ｂ'とします。ＢとＢ'を同じ点と見なすことにすると、球面上の点と平面上の点が対応します。球の赤道は、平面に対応する点がありませんが、これは無限遠の極限になるので無限遠点を表わすとします。

平面に描かれた双曲線を球面に写すと、赤道に交わる閉曲線になります（中心をはさんで対称な点は同一と見なしていることに注意してください）
また、球面に円を描き（もちろん対称に２つ）、中心に光源があるとすると、球を回転させるにつれて、影が楕円→放物線→双曲線と変化します。

この球は、単なる球と違って、赤道を越えると図形が線対称にひっくり返ります。時計の絵を球に描いて、これを赤道を越えさせると、反時計回りの時計が出てきます。ちょうど、メビウスの帯を閉曲面にしたものになっています。この球に穴をあけると（もちろん対称に２つ）、メビウスの帯になります。

詳しくはこちらをご覧ください。
http://www1.kcn.ne.jp/~iittoo/japanese.htm

お礼

私には難しすぎるので、勉強させてください。

回答No.4

mokonoko

＞双曲線のグラフなどではまたもとへもどってくるのではないかと考えてしまうのですが・・・

－∞＝＋∞
という仮定が成り立てば戻ります。
XY座標空間がボール状になっているとすればそうなります。
ただ、ボール状になっているという前提自体に納得できるかは別問題です。

お礼

この座標では、複数の点が対等に原点の資格があると主張するように思えたのですが・・・

回答No.3

shkwta

単に原点が複数あるのでは、(0,0)がどこを指すかわからなくて困ります。

座標軸を使うのではなくて、Ｐ点とＱ点を基準点とし、Ｐ点から5.7 km、Ｑ点から1.8 kmの地点、といった表わし方はできるでしょう。ただし、同じ距離の点が２つあるので、これを区別する表示が必要です。

お礼

ご教示を有難うございます。座標軸に囲まれた領域ができるので双曲線なども閉じた曲線にならないのかなと思ったりしました。

回答No.2

mokonoko

２次元の座標系で点なり線を表現するときにはその基準となる位置を決めておく必要があります。
そのための基準として「便宜上」利用されるのが「原点」です。

原点が複数あるということは、その表現する上での便宜上の基準が複数あると言うだけで、
そこにある点や線に変わりはありません。
各原点なる各基準からの表現方法が変わるだけです。

お礼

ご教示有難うございます。双曲線のグラフなどではまたもとへもどってくるのではないかと考えてしまうのですが・・・

回答No.1

yuma85jp

直線が直行してないとダメなんじゃないでしょうか？
よくわかりませんが。

お礼

ご回答有難うございました。