同じ１でも違うように思えるのですが・・・

質問

初歩的なことで済みません。たとえば２+１と１０００+１ではおなじ１でもそのはたらき方が違うように思えるのですが，現実の対象で全体の大きさに応じて、同じ１でも与える影響の違いなどは確実にあると思います。このような違いを反映させた数学的解釈というのは存在するのでしょうか。

回答No.5

shkwta

質問者様の仰る現象を扱う数学上の概念は、「対数」です。
いろいろなところでよく使われるものですが、例を示します。人間の感覚には対数的なものがあります。音が典型的です。２の音圧のところを３にしたら音が大きくなったと感じますが、１０００の音圧を１００１にしても変化がわからないでしょう。この場合、１０００を１５００にして、はじめて２を３にしたときと同じ音量の変化だと感じます。そのため、音の大きさをあらわすのに対数を使います。
（参考）
http://www.jvc-victor.co.jp/pro/sound/nani/talk-4/talk-4.htm

また、音階の感覚も同じです。261.6Hzの音はドです。これを32.1Hz増やして293.7Hzにすると、レに聞こえます。次に、523.2Hzの音は１オクターブ高いドです。これを32.1Hz増やして555.3Hzにしても、レには聞こえません（ドとレの間の半音に聞こえます）。レにするには587.3Hzにしなければなりません。数学的には、音階は周波数の対数で表わされます。周波数が2倍になると１オクターブ上がります。

お礼

ウエバー・フェッヒナーの法則ですね。もう一度考えさせていただきます。

回答No.4

sunasearch

１円硬貨だけを見るのであれば財布に１万円あろうが、１００万円あろうが同じ１円です。
数学的にも、「＋１」の部分しか着目していないのであれば、もちろん同値です。

しかしその「財布の中身を考慮する」という条件をつけ、その条件に着目するならば、たとえば「割合」のような数学的指標が現れます。

要は、今何に着目しているのかという観点の違いで解釈が変わると思いますが、ご質問者は、＋１の１にだけ着目する場合と、その他の対象にも着目する場合の二つの立場を同時に取ろうとしているので、矛盾と言うか混乱が生じているのではないでしょうか？

お礼

なるほどと思わされました。有難うございました。

回答No.3

sunasearch

ご質問のような影響の大きさを測る際には、
全体に対する割合で測るのが一般的だとおもいます。

２に対する１＝１／２＝５０％

１０００に対する１＝１／１０００＝０．１％

商品の割引率や、誤差の大きさなど
いろんなところで使われていると思います。

お礼

ありがとうございます。１円硬貨は全て１円硬貨として同じというのが数学かなとも思うのですが・・・

回答No.2

mame594

１０００万円持っている人に１万円は余り影響しないが，２万円の人に１万円は影響が大きい．
比較するものに対して，１という数字がどれくらいの比率になるかということで，近似計算には良く使われる．
Ｎｏ．１さんのものをもうちょっとひねります．

今，√10を計算したいとする．ところが，関数電卓も持っていないし，もちろん暗記もしていない．
【ケース1】
10=9+1　で1は9に対して小さいので，10≒9
よって，√10≒√9=3
かなりのラフ計算ならこれでもいいでしょう．

【ケース2】
理由は省略しますが，xが1に比べて非常に小さいとき，
√(1+x)≒1+x/2　が成立します．
よって，√10=√(9(1+1/9))≒3(1+1/18)=19/6=3.167
下記正解の値と比べてもかなりの精度です．
これは，微分を使った近似値の公式を生かした例です．

【正解／電卓】
√10=3.162・・・

お礼

ありがとうございます。近似とも関係があるわけですね。

回答No.1

physicsache

物理でよく近似のとき、そんなこと考えます。

1x10^7 + 1 ≒ 1x10^7

こんな大きな数に１を足したところで、
結果に影響は与えないでしょ？

それから、1に比べて、Zがものすごく小さい数だとすると、

1 + Z ≒ 1

と、近似することも可能。。。

お礼

安心させていただいたような，かえって不思議な感じが増したような・・・早速のご回答ありがとうございました。