積分定数は無から生じた有？

質問

タイトルどおりの疑問ですが、数学の体系と日常生活の論理との食い違いが原因の疑問だと思います。どこにおとしあながあるのでしょうか？記号と感覚の違いのようにも思えるのですが。

回答No.4

ency · ベストアンサー

単純にこう考えてはいかがでしょうか？

　F(x) = x^2
　G(x) = x^2 + 5
　H(x) = x^2 - 3
⇒
　F'(x) = 2x
　G'(x) = 2x
　H'(x) = 2x

このように微分すると、定数項の情報が欠落します。

逆に
　f(x) = 2x
⇒
　∫f(x)dx = x^2 + C

微分で定数項の情報が欠落しているため、積分したときにそれを補ってあげる必要があります。
それが「積分定数」になります。
たとえば x=0 のときの積分値が 0 なら F(x)、5 なら G(x)、-3 なら H(x) となります。

微分⇔積分が逆演算であるならば、F(x)、G(x)、H(x) を微分した結果がすべて f(x) となっていることから、f(x) を積分すると F(x)、G(x)、H(x) のいずれも求まる必要がありますよね？

このような説明で、いかがでしょうか？

お礼

ご教示ありがとうございます．早速勉強してみたいと思います．一般に微分するほうが積分するより容易であるというような記述を読んだ記憶がありますが、どこか関係があるのかなと思いました．また情報理論とか熱力学第２法則などとも関係があるのでしょうか？

回答No.3

pyon1956

まず第一に積分定数の+CのC=0の場合面倒なので+0といちいち書かないということ。無から生じたのではなく、もともとあるものを省略して書いてないだけです。
第二に積分計算は微分計算の「逆」なわけですが、これは積分定数を考えない場合、ということです。この計算は1対1の対応ではないので積分定数は微分して積分したとき一般に一致しません。
英語の文章を翻訳するとき、たとえばputをいつも「置く」と訳したのでは日本語にならないのとある意味似ています。まあそれよりはましなんで一致しない（かもしれない）のは積分定数「だけ」なんですから。

お礼

御示唆に即して勉強してみたいと思います．ありがとうございました．

回答No.2

akaiboushi

積分定数は、微分を積分にした時にでますよね。
それで微分って何かって考えると、何か適当な関数を考えた時に、その傾きの式を表すものなわけです。この「適当な関数」をｙ軸の方向に定数を足したり引いたり、といった動作をさせます。
このとき、元の関数の傾きってどこの点をとってもかわりませんよね。
ですから、任意の定数で足したり引いたりしても微分した後の関数はどれも同じになります。
逆に、ある関数を積分すれば、その定数変化の分だけ、関数形に幅ができます。
以上の説明でわかりますでしょうか？

お礼

ご説明を手許に置きながらもう一度参考書などを読んで勉強してみたいと思います。ご丁寧な解説を有難うございました。

回答No.1

osamuy

積分定数が生じるのではなく、微分の関係を満たす原始関数はいくつも構成できる事を表すのに、積分定数を使っている。そういうのを考えておくと、話の展開がすっきりする
――と考えるべきかと。

数学が日常と食い違うわけでなく、普段私たちはそこまで頭を使ってないというだけなんだと思います。

参考URL：

http://www.adaptec.com/worldwide/support/suppedindexcat.jsp?sess=no&language=English+US&doctype=Glossary

お礼

凄く簡単のようで難しいご示唆ですが、正月休みの新しい課題を頂いた感じがします。どうもありがとうございました。