数学の魔術？

質問

この矛盾感をどう解消したらいいでしょうか？ 教えてください。

循環小数に関わる疑問です。
例えば、0.3333...について。
ｘ＝0.3333...とすると、
10ｘ＝3.3333...ですから、
10ｘ－ｘ＝3.3333...－0.3333...、
9ｘ＝3、ｘ＝3/9、ｘ＝1/3
となって、納得です。

ところが、0.9999...については。
ｘ＝0.9999...とすると、
10ｘ＝9.9999...ですから、
10ｘ－ｘ＝9.9999...－0.9999...、
9ｘ＝9、ｘ＝9/9、ｘ＝1
となって、納得できません。

なぜなら、はじめにｘ＝0.9999...としたのですから、
それが、ｘ＝1 に化けるなんて、変です。数学の魔術のように思えてなりません。
日常の感覚では、0.9999...を1 と見なすことは大いにあり得ますが、数学の世界ではあり得ないこと、もしかしたらあってはならないことだと思います。この矛盾感をどう解消したらいいでしょうか？ 教えてください。

回答No.3

Higurashi777 · ベストアンサー

厳密に言うと、「循環小数を10倍したものからその小数を引いたら小数点以下がなくなる」こと自体が間違っているから、ですね。
わかりやすくするために３桁で考えると
x=0.333
10x= 3.330
9x=3.003
となりますよね。
これと同じで、かならず最後の桁で差が出ます。
質問者様の計算方法だと、この部分を無視（というか見ないこと）にして計算をしてしまっているので、0.99999......=1ということになってしまいます。
一般的にはこれを「丸め誤差」と言います。

「丸め誤差」で検索をかけるとよりわかりやすい解答が得られるかと。

以上、ご参考まで。

お礼

早速ご回答くださり、ありがとうございました。よくわかりました。

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回答No.4

gamma1854

「９が限りなく続く小数」は、
S[n] = Σ[k=1~n]0.9*(0.1)^k = 1 - (1/10)^n.
として、
lim[n→∞] S[n] = 1.
のことです。「化けた」わけではありません。

お礼

ご回答くださり、ありがとうございました。

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回答No.2

f272

0.9999...=1 ですので，何もおかしなところはありません。同じ数値の別の表現方法です。

> この矛盾感をどう解消したらいいでしょうか？

まともな感覚になるように学習してください。「0.9999...」という表記であらわされる数の定義がわかっていますか？

回答No.1

maskoto

0.99999…＝1
は矛盾ではありません。
数学的にただしい等式です
高校数学履修程度での証明は以下となります

0.99999…
＝0.9+0.09+0.009+…
これは、初項0.9、公比0.1の無限等比数列の和(無限等比級数)であるから

公式:無限等比級数の和＝a/(1-r)
aは初項、rは公比

を用いて

0.99999…
＝0.9+0.09+0.009+…
＝0.9/(1-0.1)
＝1
と導き出すことになります

お礼

早速ご回答くださり、ありがとうございました。

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