空気の圧力変化の実効値について

質問

振幅２mmで、毎秒５０回ピストン状の運動をする板のすぐ前で、空気の圧力変化の実効値はいくらか。
という問題で、実効値の式は分かるのですが、振幅２mmと50Hzの使い方が分かりません。あと、実効値の単位を教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.2

abyssinian · ベストアンサー

波動のポテンシャルが満たすべき式は
　∂2φ/∂x2-(Ｋ/ρ)∂2φ/∂t2=0　　Ｋ=媒質の弾性率、ρ=密度
単振動ε(iωt)なら
　∂2φ/∂x2+k^2φ=0,　　k=波数=ω√(ρ/Ｋ)
この一般解は、φ=Aε…+Bε…
速度はu=-∇φで、+X方向は、
　u=ikAεi(ωt-kx)=uoεi(ωt-kx)
uoはX=0での値
ここまでは理系の学生としては基本のデフォだよね。

板の振動は、単振動だとすれば、変位=a sin(ωt)　と書ける。
課題は、板の振幅aが2mm、ω=２πfのｆが毎秒50回と与えてます。
一般に速度は変位の時間微分だ。そして板に接してる空気の速度は板の速度と同じ。これでuoが決まりね！

　君が欲しかったのは上記の関係式だと思うんで、以下は参考です。

　音圧pは、圧力だから単位面積あたりの力。単位は、N/m^2=Pa、パスカルです。力は運動量の時間微分だから
　音圧p=ρ∂φ/∂t となります。ρは空気の密度kg/m^3
+X方向の式は、速度の式を使って
　p=ρcuo εi(ωt-kx)　　c=√(Ｋ/ρ)は空気の音速。

最後に、君がレスした実効値の式で、p(t)=単振動sin(ωt)、として積分すると、最大値の1/√2という超簡単な答になる。ただそれだけのこと。
音圧を2乗して最後に√する演算だから、単位も元に戻るだけだよ。

（課題だよね？、君の質問が丸投げに近かったんで、補足で式を書いてもらいました。僕も答を書くと削除されるので要点だけ書きました。分からないことがあったら補足します。）

補足

ご回答ありがとうございます。
音圧pと速度uは同位相なので、速度uも実効値で表す必要があるのでしょうか。
また、問題に気温が与えられていませんが、このような場合は、ρ＝1.29〔Kg/m^3〕、Ｋ＝142833〔N/m^2〕（0℃、1気圧）で音速cを求めればいいのでしょうか。

回答No.4

abyssinian

>1900μbar＝190Pa＝190N/mとでましたがこんなもんでしょうか

　僕と一致してます。ただし最後の単位が、僕はN/m2であることを除いて。
190N/m2=0.00188気圧、いい数値だと思います。

お礼

ありがとうございます。
自信がつきました。
これでほかの問題も解けそうです。

回答No.3

abyssinian

数値解を求めるには、状態量を仮定して最初に宣言するしかないでしょう。
速度は実効値でそろえた方がいいのかも。m/s(実効値)と書けばいいでしょう。
　弾性率Ｋの値は、γ=1.402と静圧1気圧=1013.25hPaの積とほんの少し違いますね。でも気にするほどではないと思う。
　なお、音圧の式の係数ρcは=√(ρＫ)とした方が計算が早いです。

　（訂正。最初の式の係数ρ/Ｋが分母と分子が反対でした。）

補足

やはり仮定するしかないですよね。ありがとうございました。
γ＝1.41　静圧1気圧＝1013hPaで計算しました。
答えが1900μbar＝190Pa＝190N/mとでましたがこんなもんでしょうか？
答えれる範囲でいいのでお願いします。

回答No.1

abyssinian

>実効値の式は分かるのですが

式を補足に書いてください。

補足

実効値ｐ＝√1/T∫0→T{ｐ(ｔ）}2乗dt
p(t)は音圧瞬間値
Ｔは周期です。