孤立系を仮定した大気の温度分布

質問

はじめて質問させていただきます。
地球を熱を通さない幕で覆い、十分に時間が経ったとしたとき、気温の鉛直分布はどのようになると考えられますか？　但し、内部からの熱の発生は無視できるとし、現在の全熱量を保存したまま分配すると考え、また、放射は関係しない大気であると仮定します。空気の運動はたぶん自転とともに動く剛体回転になるでしょう。

１つの答えの候補は等温になるです。これは孤立系の温度は一様になると考えられるから（重力があっても適用できるかどうかが問題？）ですが、温度の不均一があると、その不均一を使って仕事ができると考えられるからでもあります。例えば、等温以外の気温分布のとき、空高くまで届く金属棒（上下の端以外は断熱材で覆っておく）を立てると、熱伝導の違いからその金属棒は周囲と異なる温度になると考えられ、その温度差から仕事をすることが可能です。最終状態はそれができなくなる等温と考えられます。

しかし、この答えに以下のような疑問をもちました。ある時点で等温であったとし、各気体分子にそのときの高度の目印をつけたとします。時間が経ち、分子が混ざっていくと、下層には上から下りてきた分子が、上層には下から上がってきた分子が多くなると考えられます。このとき、重力の位置エネルギーと熱運動のエネルギーの和が保存するとしたら、下へ移動したものほど運動エネルギーが大きくなると考えられ、下層ほど暖かい分布になるような気もします。（圧力のことをどう考えるかが問題？）

結局、どのような温度分布になるべきか、わからなくなってしまいました。金属棒があるときとないときで温度分布が違うという答えもありうるかもしれませんが、どちらの場合でも成り立つ一般的な答えがあってほしい気がします。問題設定は単純なので、どこかの教科書にでも載っていそうなのですが、質問させていただきました。

回答No.6

decidrophob · ベストアンサー

ボルツマン分布を仮定しないで、
気体分子の運動をミクロに論じることは、
この問題についてはできないでしょうね。

もし、別の分布をとったら、
簡単に上空の方を低温にできます。
たとえば、極端な例として、
まったく同じ放物線を描く分子のみからなるシリンダーを考えると、
放物線の頂点では、速さゼロ(水平成分を無視）なので、絶対温度がゼロ。
他方で、地面では、かなりの速さってことになります。

なので、衝突は、もちろん、重要です。まさに、その衝突によって、気体分子が無限回弾性衝突した結果、
テクニカルタームを使えば、
位相空間に等確率で気体分子が分布しているという風にして導いたのがボルツマン分布。
だから、衝突の効果を「陽」に、あなたの温度の説明に入れればいいんだけど、No3. の方の入れ方は残念ながら間違っています。
私は、衝突の効果をボルツマン分布に絡めた。

さて、「平行移動」については、
私も面倒で計算していないから、
「かもしれない」っていっているだけで、
もし興味があったら、計算してみてほしいです。

やり方は、
まず、地面で、適当な温度とボルツマン分布をとる。
そして、
適当な高さでシリンダーを切り、
そこまでの高さまでしか到達しない速さの分子について、
その全体に対する割合（これは、まさにボルツマン分布のその速さまでの積分）
と
エネルギー累積（分子の運動エネルギーに密度関数をかけて積分）
を計算し、
エネルギー累積 / 割合
が全体エネルギーと等しくなっていればよい。

多分、なっているんでしょう。

回答No.8

decidrophob

これは、ほぼ自信ありますが、
ボルツマン分布については、
多分「直接」積分するような発想ではうまく行かないことが多いと思います。
定積分のいろいろな性質をうまく駆使して、
私の言ったようなことを証明する
っていうスタイルを目指すのが良いと思います。

お礼

何度もご回答ありがとうございます。
今ちょっと時間が取れなくて計算していません。
温度が高度とともに減りそうな感じ（直感）がしていますが、計算してみたら補足のほうへ書くつもりです。

補足

うまくいかないのではという予想でしたが、やってみました。積分など書き方がまずく読みにくくてすいません。
以下でq2は2^(1/2)、qpは(π)^(1/2)、q2pは(2π)^(1/2)です。^は累乗を示します。
適当な単位で測定すると考えて、速度分布をf(v)=1/q2p*Exp[-v^2/2]とします。Expは指数関数、
1/q2pは、Int[f(v),{v,-inf,inf}]=1とするための係数です。Intが積分、[]の中の後ろの{}が積分の変数と範囲を表します。infは無限大です。平均運動エネルギーは、Int[v^2/2*f(v),{v,-inf,inf}]=1/2となります。

ある高度(z)を考えて、そこより上まで行く分子の割合は、Int[2*f(v),{v,x,inf}]=1-Erf[x/q2]で求まります。ここで、x=(2*g*z)^(1/2)が高度(z)まで達するぎりぎりの速度、Erf[t]=2/qp*Int[Exp[-s^2],{s,0,t}]は誤差関数です。

その分子の運動エネルギー（zまでの位置エネルギーを引いたもの）は、v^2/2-x^2/2ですから、それらの期待値は、Int[2*f(v)*(v^2/2-x^2/2),{v,x,inf}]ですが、２つの項に分けて書くと、Int[2*f(v)*(v^2/2),{v,x,inf}]=(qp/q2*(1-Erf[x/q2])+Exp[1x^2/2]*x)/q2p とInt[2*f(v)*(x^2/2),{v,x,inf}]=(1-Erf[x/q2])*x^2/2 になり、確率がInt[2*f(v),{v,x,inf}]=1-Erf[x/q2]ですから、これで割って、(qp/q2*(1-Erf[x/q2])+Exp[1x^2/2]*x)/q2p/(1-Erf[x/q2])-x^2/2　が高度zを越える分子の高度zでの平均運動エネルギーになります。

これは、z≒0で0.5ですが、だんだん増加して、たぶん１に近づくというように、残念ながらzの関数になるので、温度が一様という解ではないような気がします。ただ２倍なのでなんだかわけがわかりません。

計算はあまり自信がないのですが、こんな感じでしたということで、送ります。

回答No.7

decidrophob

ごめんなさい、間違えた、平行移動に関して。
もっとストレートにやらなければ駄目です。

地面の分布から、
任意の高さをきるところまでは良い。

その後、
切断面までとどかない分子の個数（割合）を、分布からさっぴく。
で、残りの割合の分子について、
その高さまでの仕事分は、速い分子でも遅い分子でも等しくかかるので、
切断面の上方での運動については、その仕事分かける分子数だけエネルギーを差っぴくんですね。
で、この残ったエネルギー密度が、
もとの地面までの気体の塊のエネルギー密度と等しければよい。

なんか、そんなに難しくなさそうですね。

お礼

何度もご回答していただいてありがとうございます。
簡単にボルツマン分布と書いていますが、指数関数の積分など不慣れなものでちょっと時間が掛かりそうです。が、考えてみます。

回答No.5

decidrophob

大変興味深い課題ですね。
少なくとも、上空のほうが高温であることが自明でないことを気づかせてくれてうれしいです。

わかりやすく古典理想気体で、
問題の部分をクローズアップしましょう。

なにか、他の方の回答は、ところどころ現象論（の方程式）、ところどころ本質論って感じなので、
私は本質論に特化して、わかるところまで言います。

簡単のため、上が抜けた垂直のシリンダーを考え、
重力場は一様、
気体分子の水平方向の運動は無視します。

すると、もっとも単純に考えれば、
地面に気体分子が弾性衝突して、後は、抵抗なく放物線を描いているというイメージが描けます。
なので、上部と下部の気体分子の行き来は、放物線の行きと帰りなので、等しいです。
（っていうか、定常状態ならば、違うわけがない！！）
当然ながら、下部のほうが、運動エネルギーが小さく、小さな放物線しか描けない分子も存在するので、密度が高くなります。
しかし、上空は上空で、放物線の上の方に位置するわけだから、気体分子の平均の速さがより速いとも言い切れません。
なので、おっしゃるような等温っていうのも、まったくありえないこともないように思えてしまいます。
等温の場合は、
各層に関して、理想気体の方程式を考えれば、
PV = nRT
で、T が等しいので、
圧力が密度のみに依存している状態と考えればすっきりしないわけでもありません。

実際のところ、どのような温度分布になるかは、
ボルツマン分布に平行移動みたいな操作をしたときにどうなるか？ってことを調べないといけませんが、
よくわかりません。
まあ、でも、ここまでヒントがでれば、調べやすいかな？

で、上記の高度な計算を省く意味では、
重力の影響を受けない金属棒の導入は、画期的な考えかもしれない。
確かに、定常状態から仕事をとれるのはおかしい感じ。

ということは、
逆に、ボルツマン分布の基本性質のひとつに、
上記の平行移動に対する不変性っていうのがあるのでしょう。

面白いですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。面白いと思う方がいてくださってうれしいです。
問題の簡単化がわかりやすくしてくれそうなのですが、まだ十分に納得できてはいません。補足に書きます。

補足

基礎的な問題なので、どこかに回答があると思っていたのですが、少なくともあまり知られていないみたいですね。

簡単化はよくわかります。
が、ボルツマン分布に平行移動というところが、重力で変形するということだと思うのですが、よくわかりません。もし簡単に説明していただけるとうれしいです。分布を考えないとだめかどうかも気になっています。

No3さんの指摘されたように、分子同士の衝突をどう考えるかということも重要だと思っていますが、ちがうでしょうか？

もし、コメントがいただけると幸いです。

回答No.4

noname#108554

訂正です。No.1で、

>これは解析的に解くことが出来て、γによらず
>T∝r
>となります。

と書いてますが、T∝1/rでした。
数係数は、「断熱減率(g/Cp、Cpは定圧比熱)」に一致しますから、これで問題ないでしょう。

No.3さんの説明は局所平衡の説明にはなってると思いますが、
グローバルに等温になっていていいことの説明にはなってない気がします。

お礼

ibm111さん、何度もご回答ありがとうございます。
確認の計算をしてから補足の方へ書くつもりですので、
お礼だけで失礼します。ありがとうございました。

補足

何度もご回答ありがとうございます。No1の計算では、T∝rではなく、T∝1/(R+z)≒1/Rx(1-z/R) だったので、dT/dz=-g/Cp に対応したわけですね。よくわかりました。

回答No.3

circuit_breaker

問題の主旨確認のため、次のように整理してみました。

地上に立てた背の高い断熱性容器内に大気類似の気体柱がある。気象的知見や重力ポテンシャル内の気体移動から考えると、上層で冷たく下層で暖かい平衡状態が自然に思える。しかし、この温度差は仕事を引き出せる可能性を残すので最終状態として不条理である。やはり最終平衡状態は、高度によらず等しい温度なのか。。。　　こんな雰囲気で宜しいでしょうか。

結論から述べますと「高度によらず等温」で正しいように思います。なかなか素晴らしいパラドックスですね。悩みました。

まず上下層「温度差有り」の予想から考察を始めてしまいました。確かに仕事は取り出せます。しかし「金属棒があるときとないときで温度分布が違うという答えもありうる」との仰せの通り、仕事が取り出せてしまう事を「気体柱単独の最終状態」が等温であることの根拠とするのは早計かと私も思います。実際、次のようなもっともらしい話も組み立てられそうです。「温度差」は絶対零度でなければ消滅しない。仕事を取り出すに連れて気体柱の熱量は失われ、平均温度および実効高さが徐々に下がる。温度は気体柱という位置エネルギを支える圧力（分子の運動エネルギ）であり、熱運動は重力によって位置エネルギという秩序を獲得・経由して利用可能となって行くのである。絶対零度になって全ての分子が底に停留する最終状態を迎えるまで熱エネルギは搾り出せる。。。と言った具合です。

しかし、容器内に外から熱を与え続けたら仕事が継続して取り出せる事になってしまい、排熱点を有しないにもかかわらず熱機関として不条理です。もっと不思議なのは孤立系として、取り出した仕事を容器内で消費させた場合です。任意の形態でエネルギ消費が可能なわけですが、総熱量が失われる事はないので、永遠に容器内の秩序世界が活動し続ける事になってしまいます。金属棒を挿し込んだ場合もこれに似ていて、永遠に対流が継続すると言う結論が得られてしまいます。

「温度差有り」には無理があります。やはり「高度によらず等温」とするしか無さそうです。
少し積極的に「等温」の説明を試みてみましょう。

まず分子は互いに頻繁に衝突を繰り返し運動量を交換していますので、接する空間で分子達の平均二乗速度は同じになる筈です。仰るような目印をつけた分子が拡散的下降においてポテンシャルを運動エネルギとして蓄積していく過程は考え難いと思います。しかし重力があるのですから上向き速度より下向きの速度が僅かに大きい事は認めざるをえません。これは衝突を繰り返しながら下方に向かって累積していかないのでしょうか。確かにそのようなエネルギを考える事は出来るでしょうが、分子一つ当たりの獲得エネルギは縦に並んだ個数で割ったものにすぎない事に着目してください。つまり、気塊としてのマクロ的移動が無い限りは、正味のポテンシャルエネルギの伝播は累積長さ（深さ）によらず、あくまで平均自由行程の一つ分でしか無いでしょう。これで気体柱全体の温度が高度によらず均一になる説明が出来たつもりですか如何でしょう。ところで上向き速度より下向きの速度がやや大きい事は、気体が下降していない状況、つまり分子が平均的高さを維持する事と矛盾しないでしょうか。解決は次のように図られていそうです。ある高度の分子に着目する時、上側衝突と下側衝突では、僅かに後者の頻度が上回るであろう事に着目して下さい。高度による分子の密度差の為です。マクロ的には気圧の変化として説明されるバランス機構 dp/dh ∝ -p であり、分子に着目すれば dn/dh= -nmg/kT （n：単位体積中分子数）が意味する機構です。

お礼

質問者の疑問を疑問に思っていただいて感謝します。まだ完全には納得していないのですが正しい回答のような気がします。「分子一つあたりのエネルギーは増えない」、「上側衝突と下側衝突の差」というところを考えて見ます。ご回答本当にありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
ある高度で速度vだった分子が下へ移動して速度が増加しても、そこでは速度ｖの分子と衝突する、下の分子の速度はvだが数が多いことでバランスする（たぶん圧力だから運動量？）ことができる、したがって、高さのポテンシャルは速度には関係しないということですね。できたら式で確認してみたいと思っていますが、一応、納得できたつもりです。ありがとうございました。

回答No.2

noname#108554

>半径の変化が小さいとして、P'(r)=-gρ(r)とすると、

半径の変化が小さいという近似をするのであれば、
P'(r)=-GMρ(r)/r^2 (静水圧平衡)
↓
P'(r)=-GMρ(r)/(R+z)^2 (静水圧平衡)
として、テイラー展開すべきでしょう。
ただし、Rは地球半径です。

>この状態からは仕事を取り出すことができると思いますが、それは間違っているでしょうか？　

仕事が取り出せたらおかしなことになるんじゃないでしょうか。
永久機関とか(?)

>このときが、エントロピーが最小になっているのでしょうか？　

すみません、分かりません。

参考URLは、このへんを調べるといつも引っかかってくる
いいHPです。

参考URL：

http://grape.c.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/stellar_dynamics/all/all.html

お礼

再びの回答、ありがとうございます。また、おもしろそうなURLを教えてくださってありがとうございました。難しそうですが、読んでみようと思っています。

補足

再びの御回答ありがとうございます。テイラー展開の方が近似はいいですが、それでも、前回の補足のgをg(1-2z/R)に変えるだけだと思っています。等温以外では仕事が取り出せそうでおかしいと思って悩んでいます。

回答No.1

noname#108554

基礎方程式は以下の通り:

'は半径rによる微分です。
記号の意味が分からなければ聞いて下さい。
慣習から外れた使いかたはしてないはずです。

P'(r)=-GMρ(r)/r^2 (静水圧平衡)
P(r)=kρ(r)T(r)/m (状態方程式)
P(r)/ρ(r)^γ=定数 (断熱)
+境界条件

これは解析的に解くことが出来て、γによらず
T∝r
となります。

参考URLはポリトロープと呼ばれる一般のγの場合の考察です。
ただし、参考URLではMがrに依存することに注意しましょう。
結果はLane-Emden方程式と言うものになります。

参考URL：

http://jun.artcompsci.org/~makino/kougi/keisan_tenmongakuI/courses/node25.html

お礼

早速の御回答、ありがとうございます。参考URLが星の話ですが、地球大気でも話としては同じというわけですね。結果が、いわゆる「断熱減率」になるので、疑問を補足に書きますので、教えていただけると幸いです。

補足

早速の御回答ありがとうございます。地球大気の場合、半径の変化が小さいとして、P'(r)=-gρ(r)とすると、dT/dr=g(1-γ)/(Rγ)となり、温度減率はいわゆる気象で言う「断熱減率(g/Cp、Cpは定圧比熱)」になりました。この結果では、上下に温度変化ができます。質問にも書きましたが、この状態からは仕事を取り出すことができると思いますが、それは間違っているでしょうか？　このときが、エントロピーが最小になっているのでしょうか？　

断熱の条件を使うのが正しいのかどうかが気になっています。そのあたりがまだ納得がいっていないので、できましたらこの疑問にもお答えいただけると幸いです。