無理やり、双子のパラドックス。

質問

とある宇宙です。
ここでは相対性理論が通用します。

その宇宙は、膨張も収縮もしていません。

その宇宙は、曲率プラスで丸く閉じています(四次元球における三次元球面になっています)。つまり、真っ直ぐ進むと、もとの位置に戻ってきます。

ここに、別々の宇宙船に乗った双子の兄弟がいます。

どちらも、亜光速で等速直線運動をしています。ただし、四次元的に見れば球面を飛んでいるので直線運動と言えるのはかは、私はわかりません。

ある時点で、兄と弟は、すれ違います。このとき、兄と弟は全く同じ年齢です。

その後、時間が経過すると、兄と弟は、再びすれ違うはずです。それは宇宙を半周するときにすれ違うと思います。

このとき、お互いに相手方の年齢は、自分と比べてどうなっているのでしょうか。

すれ違うとき、兄は弟に無線で、例えば「僕は今、40歳だけど、君は何歳だ？」と聞いたら、どんな返事が来るのでしょうか。

40歳という返事でしょうか。それとも40歳よりも若い年齢という返事がきますか。

回答No.9

Nakay702

「質問者からの補足」を熟読しました。
しかし、浅学のせいか…、お説は全然存じません。できれば、「同じ速度で移動している者同士の間で時間の進み方が異なる」という所説の出典をお願いします。

約20年間にわたる天文学や物理学の講座（放送大学他）、各種現代物理学・天文学関連の著書（『だれが宇宙を創ったか：はじめて学ぶ人のための宇宙論』、『科学文明に未来はあるか』、『天文学事典』、『宇宙の果てを見る』、『宇宙に「終わり」はあるのか』など）…いずれを振り返っても、全く見聞した記憶がありません。

この種の問題については、「何らかの法則に基づくか、さもなければ、特別の仮説を立てて、条件を明示」してからでなければ答えを導くことができません。恐縮ですが、そのあたりのこと（質問の前提条件の整理）をお示しいただければ、ありがたいです。

「～論によると…ということになる」というような推測でなく、「同じ速度で移動している者同士の間で時間の進み方が異なる」ことを直接具体的に説いた部分を確認したいのです。

補足

＞「同じ速度で移動している者同士の間で時間の進み方が異なる」

観測者からみて相対速度を持っている物体の時間は遅れます。

兄弟が同じ方向に同じ速度で進んでいれば、お互いに静止しているのと変わりませんが、
この質問では、逆方向に同じ速度で進んでいるのです。兄からみると兄は静止し、弟は亜光速で飛んでいるし、弟からみると弟は静止し、兄は亜光速で飛んでいるということです。
あくまでも観測者が必要です。静止している自分の時間は普通に流れ、動いている相手の時間は遅れます。

この質問は、これを逆手にとった疑問です。お互いに相手の時間が遅れるなら、再びすれ違ってお互いの年齢を照合したら、どうなるのか？
という感じです。

普通の「双子のパラドックス」は、兄と弟の運動は違って、兄は出発時と帰還時に加速度運動をしていて、地球にいた弟の方がたくさん歳をとります。

回答No.8

chie65536（@chie65535）

時間の進み方は「移動方向は影響しない」ので、反対方向に飛ぼうが、同じ方向に飛ぼうが、一緒です。

つまり「双子は同じ宇宙船に乗っている」のとまったく同じで、二人とも「同じ時間」を過ごします。

回答No.7

Nakay702

は？

相対論に従えば、高速移動する慣性系では時間が遅れますが、それは「進行方向によって違いがある」とお考えですか？ 失礼ですが、そして、僭越ですが、そんなことはないと思いますよ。
そもそも、時間の遅れの元になる原因は、いわゆる「ローレンツ収縮」ですよね。この所説は「進行方向に関してのみ収縮する」のであって、「どの向きに進行するか」は全く無関係に起こる現象について証明しているのです。
したがって、兄と弟が反対方向に進もうが、宇宙を何周しようが、移動速度が同じなら時間の遅れ方も同じで、お互いに時刻がズレていくようなことはありません。兄弟の時間の遅れと異なって時刻がズレるのは、前便で挙げた妹のように、「静止しているか、あるいは、兄弟とは異なる速度で移動している慣性系」だけです。

信じられないようでしたら、以下のサイトをご覧ください。
《時計の遅れとローレンツ収縮　hb3.seikyou.ne.jp》

補足

すれ違ってからしばらくは、兄からみても弟からみても、相手の速度は亜光速で遠ざかっていきます。

特殊相対性理論では、自分に対して速度を持つものは、自分よりも時間の進み方は遅くなります。すなわち、最初に両者が時刻をあわせておいた場合、しばらくすると、相手の時刻は自分の時刻よりも前になります。このことは、兄からみても弟からみても同じです。

ところが、宇宙が丸いので、兄弟は再びすれ違います。すれ違うときは、兄弟は、すぐそばにいるので即座に無線でやり取りが可能です。

ここで、
最初にすれ違ってしばらくは、
兄からみて弟は自分よりも若い。弟からみて兄は自分よりも若い。こんな状態でした。

再びすれ違うときは、現実に、どうなっているのかを直線やりとりします。兄が弟に「自分は40歳だけど、君は何歳だ？」と聞いたら、弟はそれを聞いて返事を返します。弟は、どう答えるのか？
兄弟は対称の運動をして同じ場所にいるので、たぶん、「40歳」と答えると思います。では、お互いに相手方の年齢が自分よりも若く見えていたのは、どこで解消されたのか。

という質問です。

回答No.6

head1192

加速系でないから特殊相対性理論の範疇である。

特殊相対性理論はそのような問いに対する答えを持っていない。
あくまで「自分から見て相手の系がどうなるか」という理論である。
予測はその範疇でしかできない。

「兄」と「弟」とする。

兄から見て弟が動いているとする。
兄から見ると弟は動いている分時間の進み方が遅くなる。
したがってすれ違う時は兄から見て弟その分歳を取っていない。

今度は弟から見て兄が動いているとする。
弟から見ると兄は動いている分時間の進み方が遅くなる。
したがってすれ違う時は弟から見て兄はその分歳を取っていない。

どちらが正しいということはない。
どちらも正しい。
兄の言い分と弟の言い分を同等に扱うのが特殊相対性理論である。
だから絶対時間や絶対空間が存在せず時間の同時性が破れるのである。

「どっちが正しいの？」と言っているうちはニュートンの絶対時間に囚われている。
そこを離れないと相対性理論は直感的に理解できない。

お礼

特殊相対性理論とは少し違いますよ。確かに兄も弟も、そのまま運動を続けます。しかし、空間が平坦ではありません。特殊相対性理論は平坦な時空です。そこが違います。

そして、兄はすれ違うとき、弟に無線で連絡します。すぐそばにいるので、これは可能です。その時、弟からの返事はどうなりますか。お互いに立場は同じだから、お互いに相手が若いといっても、返事をしなければいけません。どうなりますか。

補足

素人ですが、兄と弟の時刻は同じにならないとおかしいと思います。同じになるためには、兄から見た弟の時間は、最初のうちは、進み方が遅くなり、時刻がズレていき、宇宙を1/4周したときが時刻のズレが最大になり、そのあと、兄からみた弟の時間の進み方は、早くなり、時刻のズレを回復していき、宇宙を半周したときには、ズレがなくなるのではないかと思います。

回答No.5

veryyoung

兄弟それぞれへの速度および距離が均等な地点、すなわち宇宙半周後にすれ違う点でもあるそこを基準にすれば、再会年齢が等しいのは明らかでしょう（題意に沿う対称な宇宙を仮定する限り）。問題は兄弟の一方を基準にとると、互いに相手の年齢が若くなってしまうパラドクスの解消です。

宇宙の湾曲を重力派生とし「見かけ上の慣性運動が、いつの間にかループを描く」という点においては、地球を周回する人工衛星のような形態までスケールダウンしても、本質は損なわれないでしょう。図１のように互いに逆方向に角速度 w で回転するA、B を考えます。θ=0、π 地点で周期的に再会します。A と B の相対速度は時々刻々変化し、それに伴い、A を基準とした B の時間経過のペースは変化しますが、常に遅れの一途です。具体的に計算してみましょう。
まず A B 間距離： L = 2 R sin( w t )
相対速度は、この時間微分で、　v = 2 R w cos( w t )
B の時間テンポは特殊相対論の式： √( 1 - ( v / c )^2 )　の一次近似を採用して、
= 1 - ( v / c )^2 / 2
= 1 - 2 ( R w cos( w t ) / c )^2
= 1 - ( R w / c )^2 ( 1 + cos( 2 w t ) ) --- 　式１
脈動はあれ、確かに A から見た B の時間テンポが上回る瞬間などありません。

しかし忘れてはならないのは、A から見た B を論じる際、観測者 A は加速度運動をしている事です。それを加味すれば、上記遅れを打ち消せる可能性はあります。調べてみましょう。予備知識として、加速度 a の観測者から加速度方向 L の距離にある場の時間テンポが
1 + a L / c^2 になる事は宜しいでしょうか（念の為文末に導出を記しておきます）。
A の B 方向への加速度 a は、x = - R sin( w t ) の2回時間微分の絶対値として、
a = R w^2 | sin( w t ) |、また L = 2 R | sin( w t ) |　ですから、
時間テンポ：　1 + a L / c^2
= 1 + 2 ( R w sin( w t ) )^2 / c^2
= 1 + ( R w / c )^2 ( 1 - cos( 2 w t ) ) --- 　式２

式１と式２を比較すると、( R w / c )^2　の量が符号違いで相殺。つまり速度によるテンポ減と加速度によるテンポ増が打ち消している事がわかります。そして 2 ( R w / c )^2 cos( 2 w t ) というテンポの脈動が残ります。すれ違うθ=0、πで相対速度は最大、θ=π/2、-π/2　で A の B 方向加速度は最大となるので当然です。ただし、時刻はテンポの累積、積分になります。cos( 2 w t )　の積分は回転半周期ごとに零になりますから、A と B がすれ違う瞬間、つまりθ=0、π での比較において時刻差は毎回生じません。

以上、誤りがないと良いですが。不可解な点はご指摘ください。

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加速度による時間テンポ差異の発生に関して、
図２のように長さ L の箱が右方向に加速度 a で運動しているとします。右端から発した光を左端が受ける時、箱は右に ( L / c ) a の速度まで加速していますから、光の周波数は、1 + ( L / c ) a / c になって観測されます。つまり左端観測者は、右端の時間経過テンポが、1 + a L / c^2　倍だと認識します。増分項を g h / c^2 と表記すれば、重力ポテンシャルによる時間の進み方に関するお馴染みの式です。

補足

兄と弟の運動は、対称なので、位置が違うときは時刻は相手の方が昔ですが、宇宙を1/4週したところから時刻のズレを取り戻していき、半周したときには同じ時刻になるということですか。

回答No.4

m5048172715

どの方向へ宇宙船が進んでも、スピードが同じなら船内の時間経過も同じだと私は思った。

もっと面白い（物理学者が嫌がるような条件）空想の実験があると楽しいと思うのだが、なかなか思いつかない。

回答No.3

m5048172715

宇宙船がすれ違ったとき、会話は、
「僕は今、40歳だけど、君は何歳だ？」
「僕も今、40歳だ。」
となる。

補足

ありがとうございます。
理由を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

Nakay702

以下のとおりお答えします。

＞すれ違うとき、兄は弟に無線で、例えば「僕は今、40歳だけど、君は何歳だ？」と聞いたら、どんな返事が来るのでしょうか。 40歳という返事でしょうか。それとも40歳よりも若い年齢という返事がきますか。
⇒ははは、面白い「思考実験」ですね。「オレも40歳だよ」という返事が返ってくると思います。ただ、この光景を、例えば静止衛星にでも乗っている人（妹とします）が見ているとすれば、「妹よ、お前は何歳だ？」と聞いたら、「ワタシ60歳よ」という答えが返ってくる、かも知れません。

回答No.1

m5048172715

兄と弟は、すれ違います。
なぜ？反対向きに飛んでいるのか？それとも方向は同じだがスピードが違うのか？

補足

＞なぜ？

反対向きに飛んでいるということでお願いします。