複素数で表された式の軌跡（！？）

質問

点z=x+yiがx=1を満たしながら動くとき、ω=1/(z-2)が表す図形を求めよ、という問題です。
「点z=x+yiがx=1を満たしながら動くとき」ということは、zは実軸に垂直な直線であることはもちろんわかるのですが、「ω=1/(z-2)」この式をどう扱ったらいいのか・・・
zについて解いてみたりしましたが、イマイチうまくいきません。
よろしくお願いします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

ω=1/(z-2)=u+iv　　(1)
　z=x+yi=1+yiを(1)に代入すると
　1/(z-2)=1/(-1+yi)=-1/(1+y^2)-y/(1+y^2)i=u+vi　　(2)
これから
　u=-1/(1+y^2)　(3)
　v=-y/(1+y^2) (4)
(3),(4)からyを消したu,vの関係式が求める図形の方程式となる。そこで(4)を両辺を2乗して(3)を代入すると
　v^2=y^2・u^2　(5)
(3)よりy^2=-1(1+1/u)であるのでこれを(5)に代入すると
　v^2=-u^2(1+1/u)=-u^2-u (6)
(6)を整理すると
　u^2+u+v^2=(u+1/2)^2+v^2-(1/2)^2=0 (7)
(7)は中心(-1/2,0)、半径(1/2)の円の方程式ですね。
　(u+1/2)^2+v^2=(1/2)^2

回答No.3

ringohatimitu

ωをyで表してみると、
1/(iy-1)=(-iy+1)/(1+y^2)になります。
そこでωの実部X,虚部Yをそれぞれyで表すと
X=-y/(1+y^2), Y=1/(1+y^2)となります。これから
X^2+Y^2=Yが得られます。式変形して
X^2+(Y-1/2)^2=(1/2)^2となり軌跡は中心(0,1/2)半径
1/2の円であることが分かります。

回答No.2

k-katou

これはω=1/(z-2)の式をzについて解いて、代入してみりゃいいんじゃないですか？