数列

質問

クリアー数学演習I･A･II･Bの255の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

4misjdidk8

(1)
平方根の整数部分nの個数は必ず2n+1と表せます。
なので、
k=1は3個
k=2は5個
k=3は7個
よって、総和は1×3+2×5+3×7=34
となります。

(2)
先ほど書いた2n+1より、
2m+1
(導出はuenotakakoさんを参考にしてください。)

(3)
√1000の整数部分を考えると、
31<√1000<32
よって、m=30までは（2m+1）個と分かり、
m=31の個数は、31の2乗の961から1000までの40個なので
総和を求めると、20615となります。

√についての整数部分の個数(2n+1)は覚えてもいいかもしれませんね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(1)
√1 = 1 , 1 < √2 < √3 < 2 , √4 = 2
2 < √5 < √6 < √7 < √8 < 3
√9 = 3 , 3 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < 4
よって
a1 = a2 = a3 = 1
a4 = … = a8 = 2
a9 = … a15 = 3

(2)
a(k) = m とすると
m ≦ √k < m + 1
m^2 ≦ k < m^2 + 2m + 1
(k , mは整数なので)
m^2 ≦ k ≦ m^2 + 2m
よって、kの個数は
(m^2 + 2m) - m^2 + 1 = 2m + 1

(3)
まず√1000の値を調べる。
31^2 = 961 , 32^2 = 1024 なので
31 < √1000 < 32
よって a(1000) = 31 である。
(2) の結果より、数列 { a(k) } (1 ≦ k ≦ 1000) は
数字mが 2m+1 個（m = 1 , 2 , … , 30）ずつ並ぶ。
また、数字31については
a(961) から a(1000) が31に等しいので
31という数字は 1000 - 961 + 1 = 40個並ぶ。
よって求める和は
Σ(m=1→30) m*(2m+1) + 31 * 40
= Σ(m=1→30) 2m^2 + Σ(m=1→30) m + 31 * 40
= (1/3) * 30 * 31 * 61 + (1/2) * 30 * 31 + 31 * 40
= 31 * (610 + 15 + 40)
= 31 * 665
= 20615

お礼

ありがとうございます。
大変助かりました。