ダミー変数をともなう回帰係数について

質問

ダミー変数をともなう回帰係数についての問題がよくわかりません。　平均と人数だけで係数はどのように決まるのでしょうか？　　　　　　　　　　　　　　　　問題は
学生を３つのグループにわけ次のような推計を行った。　　　　　　　　　　　　　　ＩＱ＝α+β*Ｂ+Γ*Ｃ　
だだしＩＱは知能指数で、ＢとＣ は学生についてのダミー変数である。Ｂは学生がグループＢにはいるとき１をとり、それ以外では０となる。同様にＣは学生がグループＣに入るとき１をとり、それ以外では０となる。　グループＡ、Ｂ、Ｃの平均は130、100、115であり　それぞれのグループには10人、20人、15人いた。
　推計結果　α、β、Γ　はどんな値をとるか？
よろしく願いします。

回答No.1

junneko · ベストアンサー

(1,B,C)という行ベクトルをN(=10+20+15)行並べたN行3列のデータ行列をXとします。定数1は定数項αの推定のためです。
次に各IQを並べた列ベクトルをYとします。
この例ではXとYどちらも未知です。
(α,β,Γ)'= (X'X)の逆行列 × X'Y
となるわけですが、ダミー変数の特性ゆえ、X'XとX'Yは簡単に求めることができます。

まず、X'Yですが、
X'Y=(IQ合計,グループBのIQ合計,グループCのIQ合計)'
となりますので、値を当てはめると
X'Y=(10*130+20*100+15*115,20*100,15*115)'となります。平均と人数だけで求めることができましたね。

次に平方和積和行列X'Xですが、次のようになります。
N ΣB ΣC
ΣB ΣB^2 ΣBC
ΣC ΣBC ΣC^2
ダミー変数は二乗しても値が変わりませんから平方和は和に等しく、この問題ではBとCはいづれか一方は必ず0ですからBとCの積和は必ず0になります。
よって、この問題では、
45 20 15
20 20 0
15 0 15
となります。こちらは人数だけで求められました。

回帰係数ベクトルの推定に必要なX'XとX'Yが求められたわけですから、あとは自動的に答えがでますね。