問題の途中式なのですが・・・。

質問

x-^2+x^3-x^4+... = x/(1+x)

という変形をしている行があって
ここの変形がなぜ可能なのかがわかりません。

もし公式でしたらどのように導けるのか
教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

funifuni11 · ベストアンサー

等比数列の和の公式ですね。
初項x, 公比-xの等比数列になっているのはわかりますよね？

一般に、初項a, 公比rの等比数列の、
第n公までの和をSとおくと、Sは下の様に表されます。
S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)
ここで、
rS = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n
となりますから、先ほどの式と辺々引けば、
(1-r)S = a - ar^n
両辺1-rで割り算すれば、
S = a(1-r^n) / (1-r)　となります。

これを、n→∞とすれば、
|r|<1の範囲で、Sは収束して、a/(1-r)となります。

というわけで、質問の式は初項x, 公比-xの等比数列ですから、x/(1+x)に等しくなります。
ただし、|x|<1という条件が無ければ成り立ちません。

お礼

なるほどー、とりあえず式がおかしくなっていて申し訳ありませんでした。
等比級数の公式を使うとは思いませんでしたが、よくみればおっしゃるとおりですね。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#24477

式は
x-x^2+x^3-x^4+... = x/(1+x)
でしょうね。

初項　ｘ
公比　－ｘ
の無限等比級数で　－１＜－ｘ＜１　の条件がある場合です。
詳しくは等比数列、無限等比級数のところを勉強してください。