ベストアンサー 定数変化法って全ての解を出せる？ 2004/09/13 10:25 微分方程式の初歩の初歩でひっかかってます。微分方程式の定数変化法って、解を仮定して解いてる訳だからすべての解の形をを求めてるわけではないんですか？ みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー yaksa ベストアンサー率42% (84/197) 2004/09/13 11:37 回答No.1 線形微分方程式なら、定数変化法で必ず特解を見つけることができます。特解が分かれば同次な微分方程式の一般解を足せばいいですね。でも定数変化法は計算が面倒になることが多いので、他の手段（未定係数法など）が使えるときはそっちのほうが楽かも。 非線形微分方程式の場合は、定数変化法で解が求まるとは限りません。というか、非線形微分方程式の場合は、定数変化法といっても定まった手順があるわけではありません。 質問者 お礼 2004/11/05 13:14 遅くなってすみません！ありがとうございました！ 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 定数変化法と未定係数法どっちを使いますか？ 二階の非同次微分方程式で定数変化法(ロンスキアン)と未定係数法がありますが、どちらが解を求めやすいのでしょうか？個人的には定数変化法のほうがいいのですが、講義で未定係数法しか扱ってないのでどちらを使おうか迷ってます。皆さんの意見をください 微分方程式の定数変化法について y'+P(x)y=Q(x)を解く際に まず、y'+P(x)y=0の解を出し、その一般解を求めます。 定数変化法では、その解y=Aexp(-∫P(x)dx)のAをxの変数とみなし、一行目の微分方程式にあうようにAを決定するとしてとくわけなのですが、どうして それで一般性を失わないのでしょうか？ それですべての一般解を表せているという事がうまく飲み込めません。 定数変化法を用いて解く微分方程式について y''' - 3y'' + 4y' = 0 という微分方程式の一般解を求めよという問題なのですが、 まずy=e^λxとおいてこの式に代入して λ^3 - 3λ^2 + 4 = 0 ⇔(λ+1)(λ-2)^2 = 0 よって特解はλ=-1、λ=2からy=e^(-x),y=e^2x このあと、なのですが参考書では定数変化法を用いてy=a(x)e^2xを代入して求めるとあるのですが、 そこでそうせず、一般解が y = C1e^(-x) + Ne^2xになると考えて Nを定数変化法を用いてN = C2x + C3 であるので一般解は y = C1e^(-x) + (C2x + C3)^2x C1,C2は任意定数 となるという考え方であってるのでしょうか？はたまたこの式だからこういう考え方ができるというだけのでしょうか？ 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 微分方程式を解くときに特殊解を求める方法 微分方程式を勉強しています。 特殊解を求める時に ・未定係数法（あらかじめ予想される特殊解の型にはめる） ・定数変化法（特殊解を求める公式にあてはめる） の２つの方法があるというのを知ったのですが、どちらを使うのが一般的でしょうか？ どちらも（導くことが困難な、つまり実質、丸）暗記が大変そうだなぁ、という印象で少し戸惑っているのですが…。 線形2階斉次微分方程式の一般解の、定数変化法を使った求め方での、追加条件の意味を教えてください。 線形斉次2階微分方程式の一般解を定数変化法で求めるとき、 まず斉次として解き、 y = Ay1' + By2' (1) を求め、A，Bを変数として、式(1)の0，1，2階微分と、元の微分方程式、条件式 A'y1 + B'y2 = 0 を用いてA，Bを導出し、一般解を求めますが、 条件式A'y1 + B'y2 = 0 にはどういう意味があるのでしょうか。 そもそも、勝手に条件を加えていいのですか。 解を限定するため、式が1つでは2変数を求められないため などの説明はよく見ますが、納得できません。 どうかよろしくお願いします。 定数変化法を使った導出 定数変化法を使って、次の同時方程式での導出方法がわかりません。 教えていただけると幸いです。 da^2/dt^2+2αβ*da/dt+β^2*a=0 αとβは定数です。 そこでa=e^λtと置くと e^λt(λ^2+2αβλ+β^2)=0 これを解くと λ=-αβ±β√α^2-1 となりました。 そこで場合分けをするのですが、|α|=1でλが重解となったのときの同時解a(t)の導出方法がいまいちわかりません。 最終的に a(t)=(C1t+C2)e^-αβt になると思うのですが、過程がわかりません。 よろしくお願いします。 微分方程式の解について 下記の問題を解く指針がわかりません。 ------------------------------------------------- f(x),g(x)がともに微分方程式 y''+y=tan(x) の解であるとき、 ア～エのうち f(x)-g(x) として妥当でないものはどれか。 ア．3e^(-x) イ．(√3)cos(2x) ウ．e^(ix) エ．2sin(x+(π/3)) ------------------------------------------------- 斉次形の解が、A,Bを積分定数として Ae^(ix)+Be^(-ix) となり、定数変化法を用いようとしましたが、 うまくいきませんでした。 微分方程式は解かなくてもよいのでしょうか？ どなたかご教授下さい。 微分方程式の解の存在 微分方程式の解の存在について質問です． x_dot = A x という形の微分方程式で行列Aがxの関数(つまりA(x))で，さらに各xで行列方程式 B'A(x)+A(x)B+Q=0の解である（B，Qは定数行列）という拘束条件？があるときに微分方程式の解の存在と唯一性はどのようにいえばいいのでしょうか？ ただ，A(x)はすべてのxについて固有値が負の行列であることとします． なにかアドバイスがあったらお願いいたします． 偏微分方程式の一般解などについて 偏微分方程式の一般解などについて 二点質問があります。 １． 「n階偏微分方程式の一般解はn個の任意関数を含む」とテキストにあったのですが、なぜそう言えるのでしょうか？ n階常微分方程式の場合は、n回積分してやればn個の任意定数が出てくる、というように理解できるのですが、偏微分方程式の場合はどう考えたらよいのかよく分かりません。とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか？ ２． １に関連しますが、偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか？たとえば、n階常微分方程式ならn個の線形独立な基本解の線形結合が一般解となると思うのですが、偏微分方程式の場合はどうなんでしょうか？ どうぞよろしくお願い致します。 変数分離が成功したからといってなぜ一般解といえるのでしょう? ここ一年間ぐらいずっと謎のままなのですが、いまさら大学の先生に聞くにも聞けず困っています。 話は偏微分方程式の解き方でよくででくる、変数分離についてです。多くの説明は、私の認識では、 変数分離の形(例えばA(x)B(y)C(z))の解を仮定して、偏微分方程式に代入して上手く各因子(上の例だとA,B,C)について常微分方程式がでてきたら、その解たちを掛け合わせたものはもとの偏微分方程式の解である。一般解はその積のすべてについて線形結合を取れば得られる。 といったものです。(あってますよねえ) 私がいつも悩んでいるのは最後の一文です。なぜ変数分離形の解の線形結合をとれば一般解になるのでしょうか? 数学記号の表記がしにくかったら、TeXの表記でかまいませんのでよろしくお願いします。 微分方程式の係数変化法の質問 微分方程式の係数変化法の質問 まず同次方程式の解を求め、次のようになりました。 y'+x/y=0 の解 Iny=-Inx+c ∴y＝ーc／x しかし、解説にはマイナスはついていません。これはどうしてなのでしょうか？ 斉次線形微分方程式 はじめまして。 斉次線形微分方程式の解と一般解はどうちがうのでしょうか？？ 一般解とは、微分方程式の解で、その階数と同じ個数の任意定数を含むものをいうらしいのですが・・・ 初歩的ですがよろしくおねがいしますm(__)m 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 微分方程式 一般解の求める問題でで特解が求められません y"-3y´+2y =(e^x)/x (x＞0) 上の微分方程式を解く（一般解を求める）のですが、未定係数法を使っても（どういう形の特解なのかも予想付かず）できませんでした。。 どなたか教えて頂けませんか？ ２階常微分方程式―特殊解 微分方程式 y″-2y′=xe^(2x) が、 y=(Ax^2+Bx)e^(2x) A,Bは定数 の形の特殊解をもつことを示せ。 この問題を教えてください。 この後、 A,Bを決めて特殊解を求めよ。(代入して恒等式) 一般解を求めよ。(斉次系の解を求めて、特殊解を足す) の問題は出来たのですが、 特殊解の形の証明はどのようにやればいいのでしょうか？ 二階微分方程式を定数変化法で解けという問題なんですが・・・ 二階微分方程式を定数変化法で解けという問題なんですが・・・ y''＋８ｙ'＋１７ｙ＝２e^-3x という問題の、最後の方がどうしても分りません。助けてください。お願いします。 微分方程式 第1問 dy y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい） dx 2xy 第2問 一階線形微分方程式 dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい 微分法の質問です。 微分法の質問です。 問）方程式x^3-3ax+4√2=0（aは定数）について、異なる実数解の個数を調べよ。 どうか解説をお願いします。 偏微分方程式の一般解 偏微分方程式:∂u(x,t)/∂x=A （Aは定数） の解き方と一般解を教えてください。 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか？ 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか？ 一階の線形微分方程式の解き方は dy/dt + p(t)y = g(t) のとき e^∫p(t)dt を両辺にかけて そのあとで両辺を積分してｙについて解く と習いました。 そして、未定係数法は２階の線形微分方程式を解く方法の一つとして、 習いました。 ここで疑問に思ったのが、 この未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか？ だとしたら下のような手順でよいのでしょうか？ 同次式： dy/dt + p(t)y = 0 の一般解を求める （積分定数が残る） 非同次式： dy/dt + p(t)y = g(t) の特殊解を求める （積分定数はない） ｙの一般解 = 同次式の一般解 ＋ 特殊解 よろしくお願いします。 微分方程式の解 下記の微分方程式の解を求めてください。 f=f(t)、C：定数とする。 f"ー{(f')^2}/f+2f/C=0 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
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