何とか論理的に考えて最終解までたどり着いた。もっと簡単な方法もあると思う。
n=2^a*3^b*5^c*7^d*…とすれば
d(n)^3=(a+1)^3*(b+1)^3*(c+1)^3*(d+1)^3*…となって
4=d(n)^3/n=((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)*…
のように考えることができる。また
4n=2^(a+2)*3^b*5^c*7^d*…=(a+1)^3*(b+1)^3*(c+1)^3*(d+1)^3*…
であることからb、c、d等は3の倍数である。
このときf(p,x)=(x+1)^3/p^xでxを固定して考えるとpの減少関数であり、xを3の倍数に限れば5以上のpについてf(p,x)はxの減少関数である。p=3のときはx=3で最大となる。したがって((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)*…は最大で
(4^3/3^3)*(1^3/5^0)*(1^3/5^0)*...=64/27となる。
これに((a+1)^3/2^a)をかけて4とするためには((10+1)^3/2^10)*64/27<4であるので1≦a≦9である必要があり、4n=2^(a+2)*3^b*5^c*7^d*…が(a+1)^3の倍数であることから、素因数としては2、3、5、7のみを考えればよい。なお(b+1)^3、(c+1)^3、(d+1)^3等からは考えられる素因数はさらに限られる。
ここまでまとめるとn=2^a*3^b*5^c*7^dと置けることになる。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)でd=3以上とすればa=3、b=3、c=0のとき最大となるが4未満である。したがってd=0である。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)でb=6以上とすればa=3、c=0のとき最大となるが4未満である。したがってb=0または3である。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)でc=3以上とすればa=3、b=6のとき最大となるが4未満である。したがってc=0または3である。
ここまでまとめるとn=2^a*3^3*5^3または2^a*3^3またはまたは2^a*5^3または2^aと置けることになる。
a=1,2,3,4,5,6,7,8,9を代入して条件を満たすものを確認すれば
(a,b,c)=(1,0,0)または(7,0,0)または(4,0,3)
つまりn=2または128または2000となる。
お礼
まだ途中までしか確認していませんが、大枠理解することができました。ありがとうございます。