高校数学 整数

質問

自然数nの正の約数の個数をd(n)とする。
{d(n)}^3=4n を満たす自然数nをすべて求めよ。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

何とか論理的に考えて最終解までたどり着いた。もっと簡単な方法もあると思う。
n=2^a*3^b*5^c*7^d*…とすれば
d(n)^3=(a+1)^3*(b+1)^3*(c+1)^3*(d+1)^3*…となって
4=d(n)^3/n=((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)*…
のように考えることができる。また
4n=2^(a+2)*3^b*5^c*7^d*…=(a+1)^3*(b+1)^3*(c+1)^3*(d+1)^3*…
であることからb、c、d等は3の倍数である。
このときf(p,x)=(x+1)^3/p^xでxを固定して考えるとpの減少関数であり、xを3の倍数に限れば5以上のpについてf(p,x)はxの減少関数である。p=3のときはx=3で最大となる。したがって((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)*…は最大で
(4^3/3^3)*(1^3/5^0)*(1^3/5^0)*...=64/27となる。
これに((a+1)^3/2^a)をかけて4とするためには((10+1)^3/2^10)*64/27<4であるので1≦a≦9である必要があり、4n=2^(a+2)*3^b*5^c*7^d*…が(a+1)^3の倍数であることから、素因数としては2、3、5、7のみを考えればよい。なお(b+1)^3、(c+1)^3、(d+1)^3等からは考えられる素因数はさらに限られる。
ここまでまとめるとn=2^a*3^b*5^c*7^dと置けることになる。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)*((d+1)^3/5^d)でd=3以上とすればa=3、b=3、c=0のとき最大となるが4未満である。したがってd=0である。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)でb=6以上とすればa=3、c=0のとき最大となるが4未満である。したがってb=0または3である。
((a+1)^3/2^a)*((b+1)^3/3^b)*((c+1)^3/5^c)でc=3以上とすればa=3、b=6のとき最大となるが4未満である。したがってc=0または3である。
ここまでまとめるとn=2^a*3^3*5^3または2^a*3^3またはまたは2^a*5^3または2^aと置けることになる。
a=1,2,3,4,5,6,7,8,9を代入して条件を満たすものを確認すれば
(a,b,c)=(1,0,0)または(7,0,0)または(4,0,3)
つまりn=2または128または2000となる。

お礼

まだ途中までしか確認していませんが、大枠理解することができました。ありがとうございます。

回答No.2

f272

n=2、128、2000です。

お礼

手間のかかる計算なのに答えがなくて申し訳ないです……ありがたいです。

回答No.1

EH1026TOYO

n=2 , 128・・の２個かな!?（ちと自信ない）

お礼

一人で考えているときは2以外の解答が出ていなかったので他の答えがあること自体をこの解答で知れました。ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。書き忘れてたんですが、解答ないんです……すみません。
証明の方針でもいいので教えていただけますか？