割りきれない数字について

質問

はじめまして、かなりくだらない質問かも知れませんが宜しくお願いします。
例えば１０メ－トルの棒があったとしますこれを１０進数で３で割ると3.33333～メ－トルと割り切れませんん、実際には３個に分けれるのにどうして数学では割り切れないのでしょうか？、数学そのものが確立した学問ではないからでしょうか子供に聞かれて疑問におもいました。

回答No.12

habukun · ベストアンサー

１０が３で割り切れないのと、数学が確立しているかどうかは無関係です。単に、１０進数で表記すると有限の小数で表せないだけです。だからスッキリしないのではないでしょうか？

下の方の回答のように３進法で表せば、ぴったり３等分することができます。FIXさんがおっしゃるように割り切るためには、１０進法での表記が適していないだけです。

原子・分子のレベルで技術的に等分できるかどうかは、また次元の違う話だと思います。

お礼

皆さん貴重なご意見有難うございました、

子供に聞かれてふと思ったのがきっかけでしたが、答えられませんでした。
何気なく使っている数学（低レベルな）事でも意外に理解していないものだと、思い知らされました。
大変参考になりました。

回答No.13

habukun

間違えました。

＃１２です。

「３進法で表せばぴったり３等分できる」というのは、私の勘違いです。そんなことはないですね。自信ありで回答したのに大きな間違いでした。（苦）何進数で表しても等分はできますが、有限の小数で表せない場合もある、というほうが正しいでしょうか。

メートルやインチ、尺などと並んで１／３メートルを１単位とする別の単位があれば、小数点以下の位なしでぴったり割り切れますね。

お礼

３等分にはできるが１０進数では小数点以下が永遠に続く表記になってしまうわけですね、
いろいろ有難うございました、

回答No.11

yaksa

ついでに、補足しておくと、
3.333...
の...という記号は、「同じものがずっと続くことを漠然と表す記号のようなもの」、
ではなくて、一つの立派な数学記号です。
本当は、書き方（点の数とか位置とか）もしっかりきまっています。
したがって、
3.333...
という表記は完全に有効です。

回答No.10

yaksa

すくなくとも、数学の世界では、
１０進数の一般的な定義にしたがえば、
10/3=3.333...
は、疑問の余地がありません。上の式は完全に有効な式です。
10を3で割った数を、１０進法で表せば、
3.333...
と、３が無限に続くという表記法で表せるわけです。
無限に続く数と、途中で終わる数（FIXさんの仰る割り切れる数？）との間に、とくに違いはないです。
両方とも実数ですね。任意の実数は１０進法で表せます。

回答No.9

SSSIN

数や大きさ、形という「概念」を測定するための表現方法として数字ができて、その測定するための長さの単位にＭやＣｍなど色々あるわけですが

ナノテクノロジーで使用する「ナノ」という極小単位は物質の機能が生じる最小単位（物を細かくしていった時の最小の単位）で、10億分の１メートルの「原子」や「分子」レベルの話になります。

しかし、この「原子」や「分子」でさえも、さらに小さな「単位」の「量子」集まりであり、「量子」は現在の科学レベルで把握できている「最小の単位」です。更に「量子」もそれを構成しているものはあるはずなので永遠に続く・・・のです。

従って、物質を完全に長さが同じ物に分けるのは今の科学技術では不可能です。仮に可能でもそれを測定する術がありません。

10－（10÷3）×3＝0.0000・・・・
の計算式の「・・・・」部分でしょうか。

回答No.8

gaak1

長い説明で恐縮です。理由は、10進法の小数の表記であるからです。「表記できる」ことと「数が存在する」ということは違います。3.3333…メートルは3と3分の1メートルという立派な値です。

ご存知のように小数は10分の1を小数第1位の単位、10の2乗（100）分の1を小数第2位の単位…と位がさがります。大きい数10、100、1000…も10の2乗、3乗…で位が上がります。

10進法と比較するために、普段の生活では全く出てこない3進法という考え方をまず理解してください。もし世の中で使われている数が３進法（3や3分の1の累乗で位が変わる）数だとすると、

10進法（普通）の数字＝３進法の数字、の組み合わせは
1＝１　　　2＝２　　　3＝１０
4＝１１　　5＝１２　　6＝２０
7＝２１　　8＝２２　　9＝１００
10＝１０１・・・
と続きます。自然数（1,2,3・・・）の場合は何の問題もおきないのですが、小数だと表せる数とそうでない数があります。例えば5/9という数は10進法では（計算機で簡単にでます）0.5555…となって割り切れませんが、

5/9=(3+２)/9
=3/9+２/9
=１/3+２/(3^2)
となるので、３進法では０．１２という表記になります。
おなじ考え方でご質問の3.3333…（=3+0+1/3)を3進法表記に表せば１０．１となります。ただし、この３進法で10進法の0.5を表そうとすると０．１１１１１１…となってしまい、こんな単純な数なのに有限な小数では表すことができません。

ご質問の件とは関係ありませんが、1辺の長さが1ｍの正方形の対角線の長さだって、√２ですから1.414213562…と永遠に続いて「有限な小数では」表すことができませんが、大きさのある立派な数です。

回答No.7

taru

補足です。
何かkomakomachiさんのアドバイスへの返答(意見？)になっているような気もしますが、
自分の回答に補足したかったので。

「現実では正確には分けられない」
と書きましたが、現実世界の数字が正確でないのは角度も同じ事だと思います。
komakomachiさんが、

>一辺が１cmの正方形を、対角線で切って直角三角形を作ると、斜辺って√2cmですよね？
1．41...cmじゃなくてちゃんと長さが存在してますよね？

とおっしゃっていますが、
この場合、直角三角形が正確な直角三角形になっていない(角度に微妙な誤差がある)から、√2cmではなく、「ちゃんと長さが存在して」しまうのではないでしょうか・・・。

回答No.6

gosuke32

アナログとデジタルの違いと同じではないでしょうか。
この世の中には、デジタルのようにはっきり表示できる数字と、割り切れない数字や、無理数のように表示できない数字が存在します。
１０ｍの棒も端から端までの間に必ず１０／３ｍの部分が存在します。
０．１の次は０．２ではありません。

回答No.5

komakomachi

やっぱり３等分といっても３つに分けるってことでしょうね。
これならなんとなくわかる気がしますけど、逆に、√2って無限に続く数字じゃないのかなって思います。
と言うのは、一辺が１cmの正方形を、対角線で切って直角三角形を作ると、斜辺って√2cmですよね？
1．41...cmじゃなくてちゃんと長さが存在してますよね？
数学は難しいですね。

回答No.4

muttyann

数学的には答えられませんが、実際に３個に分けた場合、長さは同じにはなりません。3.32mと3.35mと3.33mのように分かれるはずです。三等分はできません。

回答No.3

taru

実際には、正確に３つには分けられないと思うのですが。
きれいに３つに分けられたように見えても、実際にはほんの僅かな誤差があるはずです。
その棒の長さは紛れも無く3.3333333…メートルです(３本の長さは微妙に異なる)。

逆に、数学上割り切れる数でも、現実では正確には分けられない、ということの方が多いと思います。
10メートルの棒を２つに分けた場合、数学上は２本とも５メートルかもしれませんが、実際には、よほど高精度の機械でも使わない限り(あるいは、使っても)、微妙に誤差が出て、ジャスト５メートルにはならないはずです。