糸巻きの糸を引っ張った時の力学

質問

糸巻きの糸を少しほどき，平らな机の上で，図の矢印の方向(右)に力Fで引っ張った時、糸巻きはB(右)の方向に転がることは理解できます．（ただし，糸巻きは机の上を滑らないものと仮定します）

なぜなら，糸巻と机との接触点まわりのトルクが時計回りに作用するからだと思います．

ここで疑問に思ったのですが，図の点線で描かれた円の半径をRとしたとき，円の中心まわりにRｘFのトルクが”反”時計回りに発生はしますでしょうか？反時計回りのトルクが発生するか発生しないかを，数学的に(直観的にでは無いという意味で)解説をお願いします．できれば，糸巻を質点の集合と考えた場合の，数学的な証明を頂ければ幸いです．

どうぞよろしくお願いいたします．

回答No.1

tgb · ベストアンサー

運動を調べたい時はその対象に作用する外力を見るのが常套手段です。
　この糸巻きの場合、外力Fとそれによって生じる摩擦力ｆの2つです。両方とも力の作用線が中心からずれているので、水平方向に移動させようとする力に加えて、回転を生じさせようとするモーメントも作用することになります。摩擦力ｆは外力Fと反対方向に作用するので、このケースではモーメントとしては外力Fは糸巻きを反時計回りに回転させようとするモーメントであり、摩擦力ｆは時計回りに回転させようとするモーメントになります。
　従って糸巻きがどちらに回転するかは両モーメントの大小関係によって決まります。摩擦力によるモーメントを知るためには摩擦力を知る必要があります。これは、摩擦力、回転角加速度、水平方向加速度を未知数として、滑らない条件、水平方向の運動方程式、回転についての運動方程式の3つの方程式を解いて求まります。
　3つの未知数を外力Fを作用させて動き出す瞬間についての値として求めることを考えれば、単純な連立方程式であり計算も単純です。
　結果としては、やはり右に回転するようです。

※転がり摩擦は考えていません。
　滑りが生じないための条件としてＦの最大値が|f|≦μＭｇから求まります。

お礼

ありがとうございます。