掛け算の順序について

質問

掛け算の順序問題があるという話を聞きました。

『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』と言う問題があったとします。

この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？

私は「10」の一つだけだと思っていますが、数学的に正しい解答はどうなるのでしょうか？
特に「掛け算には順序が無い」という方の意見が聞きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。

回答No.8

f272

> 私は、表記の定義として、1対1に対応していると解釈します。

表記を問題にしているのであれば，「a×b」に対して「y=a×(b+1)」というとき「2×4」に対するのは「y=2×(4+1)」でしょう。10ではないですよね。それを10にしたいのであれば2×4も8としてもよいはずです。

> あなたの解釈では、順序対と像を表として表現するときに困ると思います。

困る状況を全く想像できませんが...

> 一般的な二項演算を理解している方が相手なら特に問題ないと思います。

この問題では一般的な二項演算ではなく特定の二項演算ができてきています。
一般的な二項演算を理解しているかどうかと，問題を一意に解釈させることと何の関係もないと思いますよ。「複数の解答があるということでしょうか？」というように複数の解釈があるかもしれないという認識があるのに，それに対処しておかないのでは「問題に不備がある」と言われます。

補足

回答ありがとうございます。

>10ではないですよね。

常識的には「yを答えよ」では「yの値を答えよ」という計算した結果を求められていると解釈するものだと思うのですが、あなたは違うのですね。

>> あなたの解釈では、順序対と像を表として表現するときに困ると思います
>困る状況を全く想像できませんが...

二項演算はその写像ルールが表形式で定義されることもあります。
その場合に「a〇b」と表記される演算が表のどこを見ればよいのか分からないのではお話になりません。
一般的に、順序対(a,b)に対して行う演算を「a〇b」と書くなら、「a〇b」が順序対(a,b)に対して行う演算であることは自明でしょう。
そもそも、二項演算は可換とは限りませんし、表記の定義には、演算の写像ルールの定義は何ら影響ありません。
例えば、順序対(a,b)に対し「a◎b」「a◆b」「a▼b」「f(a,b)」「g(a,b)」等を定義するとき、それぞれの表記の定義が、それぞれの写像ルールの定義に、そしてかけ算「a×b」の定義に影響することは何もないでしょう。
あなたが、「2×4」「2◎4」等の表記から順序対「(2,4)」を読み取ることはできない、という主張であることは承りました。
また、あなたが、「2×4」は、「(2,4)」「(4,2)」だけでなく、さらに「(1,8)」「(8,1)」の可能性もある、という考え方のタイプであることも承りました。

>この問題では一般的な二項演算ではなく特定の二項演算ができてきています。

関数yは普通の「かけ算」には全く影響を与えず、また、「a×b」の定義には全く触れていませんので、「a×b」や「2×4」はごく一般的な二項演算である普通の「かけ算」です。
私は、一般的なかけ算「a×b」に関する解釈について、影響を与えることは何もしていません。

>複数の解釈があるかもしれないという認識があるのに

8に対して「2*4とも解釈できるし1*8とも解釈できる」というあなたの言によれば、「4-2」は「2」であり、「2」は、「6-4」とも解釈できるし「10-8」とも解釈できる、となると思いますが実際あなたが言うかは予想できませんし、もしかしたら、あなたは、「4-2」は「10÷5」とも解釈できる、という可能性すらあります。
正しい認識での話であればそうでしょうが、理解できない解釈をしている方がどういう発想をするかは全く想定することはできませんし、それは範疇外でしょう。
私がそのようなことに対して事前に対処することなど不可能です。

議論を目的をしている訳ではありませんので、あなたの意見は「とあるひとつの意見」ということで承りました。
あなたの1万7千件を超える回答にかけるその情熱は、私などではなく他の方に向けるのが幸せになれるかと思います。

回答No.7

bunjii

>この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？
違います。
「a×b=b×a」のbは(b+1)に置き換わっているので「a×(b+1)=(b+1)×a」のように置き換えて被乗数と乗数を入れ替えても同じ結果になるという論法です。
つまり、aの値とbの値を入れ替えて良いのではなく数式の「×」の左右を入れ替えて良いだけです。
y=a×(b+1)=2×(4+1)=10
y=(b+1)×a=(4+1)×2=10

補足

回答ありがとうございます。

>つまり、aの値とbの値を入れ替えて良いのではなく数式の「×」の左右を入れ替えて良いだけです。

趣旨があまりうまく伝わっていないように思います。
『「2×4=4×2」ですので』と書いたのは、入力が「2×4」だけでなく「4×2」とも見做せるのか？という意図があります。
『数式の「×」の左右を入れ替えて良い』なら入力は「4×2」としてもよいことになりませんか？
「掛け算には順序がない」ので入力は「4×2」でもあると見做す方なら「aの値とbの値の入れ替え」が起こることになるかと思います。

私は「掛け算には順序がある」と思っているので、「掛け算には順序がない」という方の考え方が全く予想ができません。
あなたのご意見はどちらの立場のものでしょうか。

回答No.6

f272

> 掛け算なら順序対(2,4)の時は「2×4」と書くことに相当するかと思いますが、

そうですね。

> 逆の「2×4」は順序対(2,4)に1対1に対応す訳ではない、ということでしょうか。

そうですね。2×4は1つの値であって，順序対ではありませんから。
「義務教育のでは「×」のあるなしで意味が違うようです」なんてことは通常の人は考えません。

> 当然「2×4」は「m(2,4)」となります(少なくともそのつもりです)。

そういう前提であるのなら，それを明確に書かないと「問題に不備がある」と言われます。そういう定義なら答えは10だけと明確ですが，「2×4」と「m(2,4)」が同じであるとは読み取れません。

補足

回答ありがとうございます。

>そうですね。2×4は1つの値であって，順序対ではありませんから。

ここの解釈がポイントですね。
私は、表記の定義として、1対1に対応していると解釈します。
あなたの解釈では、順序対と像を表として表現するときに困ると思います。

>そういう前提であるのなら，それを明確に書かないと「問題に不備がある」と言われます

一般的な二項演算を理解している方が相手なら特に問題ないと思います。

回答No.5

f272

ここでは「「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する」と言っていますが，これはどんな定義なのか全く明確ではありません。だからその定義の解釈次第でどのような答えにもなるのです。
#4さんのいうように2つの数値aとbに対応してy=a(b+1)を決めるのなら明確ですが，abに対応してy=a(b+1)を決めると言われたらabという値をyで使われている2つの数にどのように分解するかがわかりません。例えば8に対するyを求めようとすると2*4とも解釈できるし1*8とも解釈できます。任意の数値xを使ってx*(8/x)と解釈できるのですからy=x((8/x)+1)=8+xとなってyは任意の数値ととれるのです。
結論は，問題に不備があるということです。

補足

回答ありがとうございます。

>abに対応してy=a(b+1)を決める
「a×b」と「a×(b+1)」です。義務教育のでは「×」のあるなしで意味が違うようです

#4さんのf(a,b)が曖昧なので、「m(x,y)=xy」「f(x,y)=m(x,y+1)」と再定義させていただきます。
この時、m(a1,b1)と対応する「f(a1,b1)」の値を聞いています。

#4さんの話では掛け算を関数として書く話になっていますので、当然「2×4」は「m(2,4)」となります(少なくともそのつもりです)。

>結論は，問題に不備があるということです。

一般的に、順序対(x,y)に二項演算μを作用する時、μ(x,y)やxμyと記すようですが、今回の件はどこに曖昧さがあるのでしょうか？
掛け算なら順序対(2,4)の時は「2×4」と書くことに相当するかと思いますが、逆の「2×4」は順序対(2,4)に1対1に対応す訳ではない、ということでしょうか。

回答No.4

muturajcp

「a×b」
と掛け算と同じ記号を使うから混乱しているのです
「a×b」
とは書かないでその代わりに
f(a,b)
と書いて

f(a,b)=a×(b+1)

と定義するのです

f(2,4)=2×(4+1)=10
f(4,2)=4×(2+1)=12

となります

補足

回答ありがとうございます。

解答は複数というご意見ということですね。

回答No.3

marukajiri

「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ。

上の問題があった場合、順番に従って、文字と数字が一つづつ対応することになります。すなわち「a×b」に対して「2×4」が与えられた条件ですので、a=2かつb=4の条件の場合のyを求めることになります。

したがってa=2、b=4をy=a×(b+1)の式に代入して
y=2×(4+1)
y=10
これが求める答えになります。

もしも上の問題でa=4、b=2とやってしまうと間違いになります。「a×b」に対して「2×4」が与えられているので順番を勝手に入れ替えてはいけないからです。

次のような問題があった時答えがどうなるかわかりますか？
問題　「a×b」に対して「2×4」が与えられている時、「2×4」を「b×a」の形に表すとどうなるか？

答えは「4×2」だけです。数字はそれぞれの文字と一対一で対応しているのです。数学の問題を解くのには、きちんと文章を読み取ることのできる読解力と理解力が必要なのです。

補足

回答ありがとうございます。

解答は1つというご意見ということですね。

回答No.2

KEIS050162

ａｘｂ＝ｂｘａ　は間違っていませんが、この例題の「ａｘｂ」は、単なる乗算ではなく、

「ａｘｂ」＝「ｙ＝ａｘ（ｂ＋１）」　と　”　定　義　”したので、
必ずしも
「ａｘｂ」＝「ｂｘａ」ではないです。（単なる乗算ではなく、新たに定義した演算なので、順序の規則が乗算と同じであるとは定義されていない。）

従って、変数の順番は忠実に定義に従わないと矛盾が起こる、

…と、言うことではないでしょうか？

補足

回答ありがとうございます

>「ａｘｂ」＝「ｙ＝ａｘ（ｂ＋１）」　と　”　定　義　”したので、

この質問の趣旨は、「a×b」からa,bそれぞれの値を読みとって「y=a×(b+1)」に代入してください、ということです。
「2×4」のとき「a=2,b=4」という解釈のみなのか、「a=4,b=2」という解釈もあるのか、という確認です。