3次関数について。

質問

次のたけちゃんさんの解答を解説していただけると幸いです。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343

回答No.13

f272 · ベストアンサー

> 発散とはどういう意味でしょうか？

有限の値に近づくとき収束するといいます。収束しないときは発散するといいます。f’(x)はー∞に発散するというのはf’(x)の値がどんな有限の値よりも小さくなることを言います。
x軸と交差しないということは，必ず正の値になるということですから，「どんな有限の値よりも小さくなる」ことは不可能です。

お礼

上の補足の文章を読んでいただけないでしょうか？すみません。

補足

収束するとは例えばどういうことでしょうか？有限の値に近づくとはどういうことでしょうか？
どんな有限の値よりも小さくなることは不可能です。とはどういうことでしょうか？教えていただけると幸いです。

回答No.12

f272

> 負から正に符合変化する根拠として、不十分だからといって、解答に無限大を使う理由がわかりません

http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343
では
f'(x)がx≦-1で増加かつf'(-1)>0
をまず言いました。y=f'(x)のグラフを考えてください。このグラフではx=-1のとき正の位置にあります。x≦-1で増加なのだから，x=-1からx軸の負の方向にグラフをたどっていくと，だんだん値が小さくなっていきます。
このとき正から負に符号変化するでしょうか？
一般的に考えれば，ずっと正のままかもしれませんし，どこかで負になるかもしれません。しかしx→ー∞でf’(x)→ー∞であれば必ずどこかで負になります。なぜなら，このグラフは連続ですからx軸と交差しなければf’(x)はー∞に発散できないからです。

補足

なぜ、x軸と交差しなければf’(x)はー∞に発散できないのでしょうか？教えていただけると幸いです。発散とはどういう意味でしょうか？教えていただけると幸いです。

回答No.11

f272

> x→ー∞で、f’(x)→ー∞となるのは、なぜ、明らかなのでしょうか？

#8で「f’(x)は3次関数であって3次の係数が正」と言っています。
そうするとf'(x)はどんな関数になりますか？例えばf'(x)=x^3です。このグラフの形が分かりますか？紙に書いてください。そうすれば「x→ー∞で、f’(x)→ー∞となる」のは明らかでしょう。
他の3次関数であっても3次の係数が正であればf'(x)=x^3を横に広げたり縦に広げたり平行にずらしたりするだけです。

補足

わかりました。では、質問を変えます。
なぜ、3次関数をいう上で、∞を解答の中に使っているのでしょうか？負から正に符合変化する根拠として、不十分だからといって、解答に無限大を使う理由がわかりません。教えていただけると幸いです。

回答No.10

f272

> 結局たけちゃんさんは、まとめると、何が言いたかったのでしょうか？

質問者は，自分が何を質問しているのかを理解せよ，ということじゃないでしょうか。

補足

一つ前のお礼コメントを見ていただけないでしょうか？

回答No.9

f272

> ちなみになのですが、f’(x)は、単調増加になるのでしょうか？

#3で，
f'(x)が常に0以上である⇔f(x)は単調増加
と書いたはずだが，見ていないのか？

> それもグラフの一例として示していただけると幸いです。

http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343
の中で
実例として，y=2^xは，「x≦-1で増加かつx=-1のとき正」ですが，
関数値は常に正であり，符号変化はしません．
と書かれているのを見ていないのか？y=2^xのグラフを描けないのですか？

お礼

なぜ、一つ前のf272様の、回答で、x→ー∞で、f’(x)→ー∞となるのは、なぜ、明らかなのでしょうか？教えていただけると幸いです。

補足

結局たけちゃんさんは、まとめると、何が言いたかったのでしょうか？教えていただけると幸いです。

回答No.8

f272

> なぜ、x→ー∞で、f’(x)→ー∞を宣言しなくても良いのでしょうか？

ここではf’(x)は3次関数であって3次の係数が正です。そうすると「x→ー∞で、f’(x)→ー∞」であることは明らかですから，わざわざ書かなくてもわかるでしょ，ということです。

補足

一つ下のお礼コメントを見ていただけないでしょうか？すみません。

回答No.7

f272

簡単なことしか書いていないのに，すべてに納得できないのは，使われている用語の意味が分かっていないからです。しっかりと教科書で確認してから，もう一度考えてください。

お礼

ちなみになのですが、f’(x)は、単調増加になるのでしょうか？一つ前の質問です。グラフの説明をしてくれた、もう一つの場合です。意味不明でしたら教えていただけると幸いです。常に0以上の場合です。それもグラフの一例として示していただけると幸いです。

補足

なぜ、x→ー∞で、f’(x)→ー∞を宣言しなくても良いのでしょうか？教えていただけると幸いです。

回答No.6

f272

あなたが#5の補足に書いた文章のどこが納得できないのですか？

補足

全てです。教えていただけると幸いです。

回答No.5

f272

> この図では、x＝ー1、88付近で、f’(x)＝0になるようには見えません。あと、f(x)はそこで極小値をとるようには見えません。

一体なにを見ているのでしょう？図に追加したように，誰が見てもそのように見えるはずです。

補足

グラフの説明は感謝いたします。次は、定数でない整式については，x→-∞のとき，その値は必ず発散し，
「x<-1で単調増加かつx<-1で常に正」となることはあり得ないので，
f(x)やf'(x)が整式である前提で考えれば，
ことさら「x→-∞のときf'(x)→-∞」を宣言しなくても
解答として認められる可能性があるということです．
という文章の解説をお願いできないでしょうか？
教えていただけると幸いです。

回答No.4

f272

> なぜ、x＜ー1で、極小値をとるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

f'(x)が常には0以上でない⇔f'(x)は負から正に符号が変化する⇔f(x)は極小値がある
と書いた通りであって，f(x)に極小値があるというのは言い換えるとf'(x)が負から正に符号が変化するということです。そういう状況ならf(x)に極小値があるのは当然です。

> その時の、x＜ー1が、極小値になる時の図を書いていただけないでしょうか？

「その時」というのがどういうときのことを言っているのか定かではないが，例えば添付図の通り。x=-1.88付近でf'(x)=0となり，f(x)はそこで極小となっています。ついでに言えばx=0.35付近で極大，x=1.53付近で極小になっています。

補足

この図では、x＝ー1、88付近で、f’(x)＝0になるようには見えません。あと、f(x)はそこで極小値をとるようには見えません。詳しく教えていただけると幸いです。

回答No.3

f272

f'(x)が連続かつx<-1で単調増加で，かつf'(-1)>0
を前提とすれば，x<-1で
f'(x)が常に0以上である⇔f(x)は単調増加
f'(x)が常には0以上でない⇔f'(x)は負から正に符号が変化する⇔f(x)は極小値がある
ということです。高校生のときに習うはずですが...

お礼

その時の、x＜ー1が、極小値になる時の図を書いていただけないでしょうか？

補足

なぜ、x＜ー1で、極小値をとるのでしょうか？教えていただけると幸いです。