正射影について。

質問

以下のURLの続きです。
https://okwave.jp/qa/q9753034.html
次のような図を考えれば全て納得できるのですが、あっていますでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.41

muturajcp · ベストアンサー

辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、辺ABがcosθ倍だけ縮んだものが,辺A'B'となる

正射影前後で不変なものは、(αβの交線に)平行な成分となる
辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、
(底辺をABとした時の)△ABCの高さ(a√3/2)
↑BCのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
↑ACのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
はいずれも同じものである
が不変

ABが交線に平行と仮定すると

ABの交線に平行な成分は a
ABの交線に垂直な成分は 0
だから
A'B'の交線に平行な成分は a
A'B'の交線に垂直な成分は 0
だから
|A'B'|=|AB|=a
↓|A'B'|=1だから
a=1

AC,CBの交線に平行な成分は1/2
CA,CBの交線に垂直な成分は√3/2
だから
A'C',C'B'の交線に平行な成分は1/2
C'A',C'B'の交線に垂直な成分は(√3/2)cosθ
だから
|A'C'|=|C'B'|=(1/2)√{1+3(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(1/2)√{1+3(cosθ)^2}=2
√{1+3(cosθ)^2}=4
1+3(cosθ)^2=16
3(cosθ)^2=15
1>(cosθ)^2=5>1となって矛盾するから
∴
ABは交線に平行でない

回答No.40

muturajcp

ABがαβの交線に垂直な時は、

ABのαβの交線に平行な成分は 0
ABのαβの交線に垂直な成分は a
だから
A'B'のαβの交線に平行な成分は 0
A'B'のαβの交線に垂直な成分は acosθ
だから
|A'B'|=|AB|cosθ=acosθ
↓|A'B'|=1だから
acosθ=1

↑BC,↑ACをαβの交線に平行な成分とαβの交線に垂直な成分に分けると
↑BCのαβの交線に平行な成分はa√3/2
↑ACのαβの交線に平行な成分はa√3/2
↑BCのαβの交線に垂直な成分はa/2
↑CAのαβの交線に垂直な成分はa/2
だから
B'C',A'C'のαβの交線に平行な成分はa√3/2
B'C',C'A'のαβの交線に垂直な成分は(a/2)cosθ
だから
|B'C'|=|C'A'|=(a/2)√{3+(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(a/2)√{3+(cosθ)^2}=2
a√{3+(cosθ)^2}=4
a^2{3+(cosθ)^2}=16
3a^2+(acosθ)^2=16
↓acosθ=1だから
3a^2+1=16
3a^2=15
a^2=5
∴
a=√5
↓acosθ=1だから
(√5)cosθ=1
∴
cosθ=1/√5

お礼

Aから出ている線はなんでしょうか？教えていただけないでしょうか？なんか、L型の線も気になります。気にしなくても良いのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

補足

すみません。なんかコンパスで書いた跡があるのですが、気にしなくても良いのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.39

musume12

> なぜ、BC、ACの交線に平行な線分は、a √3／2なのでしょうか？
　正三角形の3つの角は60°であることは知っているんだろうなwwwwwwwwwwwwwww

回答No.38

TEN64

なぜ、BC、ACの交線に平行な線分は、a √3／2なのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

正三角の高さは辺の長さの√3/2倍

回答No.37

178-tall

コマ切れの質問続きで、たちまち堂々巡り。
ある意味、スゴイ。
「コマ切れ」と化したスレッドをひとまず一括。

ANo.23
>辺ABが、平行でも垂直でもない場合どうなるのでしょうか？。

30 度回転に分割する手。
底辺が交線 I に平行な正三角形からスタート。
これを 30 度反時計周りに回転すると、左辺は垂直になり、平面βへの正射影が最短になる。
また回転中に、底辺が減少、右辺が増大。結果は「二等辺三角形」。
回転後の平面βへの正射影では、底辺＝右辺 (旧名) になつている。

ANo.29
>「30 度回転」での各辺の増減を表にしてみたら…？

　　　　初期　　途中　　終点
　　　　----　　----　　----
底辺　　最長　　 ↓
　　　　　　　　　　　　　 || 等辺
右辺　　　　　　 　↑
　　　　 || 等辺
左辺　　　　　　　 ↓　　 最短

　結論：途中で「二等辺」となることはない。

回答No.36

musume12

> 辺ABが垂直な時は、辺ABがcosθだけ縮んで、
> 辺ABが平行な場合は、三角形の高さがcosθだけ縮む
　この文章からほんとに正射影が理解できたのかどうか、よくわからなんなあ。
　まあ、あなたはその程度の理解でいいかも知れない。立派なものであるwwwwwwww。

　以下は蛇足。

　AB は交線 L に垂直で、平面αと平面βとの傾斜角θを 60°とする。
　cos60°= 1/2 だから正射影による縮小率は 1/2 である。したがって底辺となる AB が 1/2 に縮小し、高さ MH は不変だから、面積も 1/2 となる。

　これを区分求積法で考えよう。平面αの正三角形 ABC と平面βの三角形 A'B'C' を図のような微小矩形に分割する。
　正射影により、微小矩形は交線 L に垂直な方向である '高さ' が 1/2 に縮小し、交線 L に平行な '微小な横幅' は不変であるから、分割された各微小矩形の面積は 1/2 になる。よって '微小な横幅' → 0 として足し合わせれば三角形の面積も 1/2 になる。

回答No.35

muturajcp

ABが交線に垂直な時は、

ABの交線に平行な成分は 0
ABの交線に垂直な成分は a
だから
A'B'の交線に平行な成分は 0
A'B'の交線に垂直な成分は acosθ
だから
|A'B'|=|AB|cosθ=acosθ
↓|A'B'|=1だから
acosθ=1

BC,ACの交線に平行な成分はa√3/2
BC,CAの交線に垂直な成分はa/2
だから
B'C',A'C'の交線に平行な成分はa√3/2
B'C',C'A'の交線に垂直な成分は(a/2)cosθ
だから
|B'C'|=|C'A'|=(a/2)√{3+(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(a/2)√{3+(cosθ)^2}=2
a√{3+(cosθ)^2}=4
a^2{3+(cosθ)^2}=16
3a^2+(acosθ)^2=16
↓acosθ=1だから
3a^2+1=16
3a^2=15
a^2=5
∴
a=√5
↓acosθ=1だから
(√5)cosθ=1
∴
cosθ=1/√5

ABが交線に平行と仮定すると

ABの交線に平行な成分は a
ABの交線に垂直な成分は 0
だから
A'B'の交線に平行な成分は a
A'B'の交線に垂直な成分は 0
だから
|A'B'|=|AB|=a
↓|A'B'|=1だから
a=1

AC,CBの交線に平行な成分は1/2
CA,CBの交線に垂直な成分は√3/2
だから
A'C',C'B'の交線に平行な成分は1/2
C'A',C'B'の交線に垂直な成分は(√3/2)cosθ
だから
|A'C'|=|C'B'|=(1/2)√{1+3(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(1/2)√{1+3(cosθ)^2}=2
√{1+3(cosθ)^2}=4
1+3(cosθ)^2=16
3(cosθ)^2=15
1>(cosθ)^2=5>1となって矛盾するから
∴
ABは交線に平行でない

補足

なぜ、BC、ACの交線に平行な線分は、a √3／2なのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.34

TEN64

因みに、辺ABが垂直な時は、辺ABがcosθだけ縮んで、辺ABが平行な場合は、三角形の高さがcosθだけ縮むということでしょうか？それで、どちらも2辺の長さは縮む。それぞれ、不変なものは、辺ABが垂直な時は、三角形の高さ、辺ABが平行な場合は、辺ABということでしょうか？
これで合っていますでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

全部あってる。

回答No.33

musume12

> なぜ、交線の方向ベクトルは、(1,0,0)なのでしょうか？
　チミ、ほんとにやる気あるのかネwwwwwwwww

> A'からαβの交線への垂線をy軸
> その垂直点を原点として
> αβの交線をx軸とする
> {交線の方向ベクトルは(1,0,0)}
> 原点を通り平面βに垂直な直線をz軸とする

とある。αβの交線を x 軸とするのだから、その方向ベクトルは、(5,0,0) でも (7,0,0) でもかまわないが、基本ベクトル (1,0,0) を選択するのが自然というもの。

> 図をあげていただけないでしょうか？
　図はあなたが描くのだ。ちゃんと定規を使って。

---------------------------------

　No.30 の解答に重大なミスがあったwwwwwwwwwwww
>　　cosθ= 30 °　　　cosθ= 60 °　　　cosθ= 80 °
　　cosθ　　θ= 30 °　　　θ= 60 °　　　θ= 80 °
とすべきであった。ま、すぐわかったとは思うが。

補足

因みに、辺ABが垂直な時は、辺ABがcosθだけ縮んで、辺ABが平行な場合は、三角形の高さがcosθだけ縮むということでしょうか？それで、どちらも2辺の長さは縮む。それぞれ、不変なものは、辺ABが垂直な時は、三角形の高さ、辺ABが平行な場合は、辺ABということでしょうか？
これで合っていますでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.32

muturajcp

この問題ではABはαβの交線に必ず垂直になります
ABがαβの交線に垂直である事を証明します

交角θで交わる2つの平面αとβがある.
平面α上にある
1辺の長さ
aの正3角形ABC
(
|AB|=a…(1)
|BC|=a…(2)
|CA|=a…(3)
)
の平面βへの正射影は,
Aの正射影をA'
Bの正射影をB'
Cの正射影をC'
とすると
|A'B'|=1…(4)
|B'C'|=2…(5)
|C'A'|=2…(6)
の2等辺3角形
A'B'C'となった

A'からαβの交線への垂線をy軸
その垂直点を原点として
αβの交線をx軸とする
{交線の方向ベクトルは(1,0,0)}
原点を通り平面βに垂直な直線をz軸とする
↑AB=(Bx,By,Bz)…(7)
↑AC=(Cx,Cy,Cz)…(8)
とすると
(8)から(7)を引くと
↑BC=(Cx-Bx,Cy-By,Cz-Bz)…(9)

(7)の絶対値をとると
|AB|=√{(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2}
↓これと(1)から
a=√{(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2}
↓両辺を2乗すると
a^2=(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2…(10)

(9)の絶対値をとると
|BC|=√[(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2]
↓これと(2)から
a=√[(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2]
↓両辺を2乗すると
a^2=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2…(11)

(8)の絶対値をとると
|AC|=√{(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2}
↓これと(3)から
a=√{(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2}
↓両辺を2乗すると
a^2=(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2…(12)

平面βの式はz=0で
↑A'B'は↑ABのβへの正射影だから(7)から
↑A'B'=(Bx,By,0)
↓絶対値をとると
|A'B'|=√{(Bx)^2+(By)^2}
↓これと(4)から
1=√(Bx)^2+(By)^2}
↓両辺を2乗すると
1=(Bx)^2+(By)^2…(13)
↓これを(10)に代入すると
a^2=1+(Bz)^2…(14)

平面βの式はz=0で
↑B'C'は↑BCのβへの正射影だから(9)から
↑B'C'=(Cx-Bx,Cy-By,0)
↓絶対値をとると
|B'C'|=√{(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2}
↓これと(5)から
2=√{(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2}
↓両辺を2乗すると
4=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2…(15)
↓これを(11)を代入すると
a^2=4+(Bz-Cz)^2…(16)

平面βの式はz=0で
↑A'C'は↑ACのβへの正射影だから(8)から
↑A'C'=(Cx,Cy,0)
↓絶対値をとると
|C'A'|=√{(Cx)^2+(Cy)^2}
↓これと(6)から
2=√{(Cx)^2+(Cy)^2}
↓両辺を2乗すると
4=(Cx)^2+(Cy)^2…(17)
↓これを(12)を代入すると
a^2=4+(Cz)^2…(18)
↓これと(14)から
1+(Bz)^2=4+(Cz)^2
↓両辺に-1を加えると
(Bz)^2=3+(Cz)^2>0…(19)

(16)=(18)から
4+(Bz-Cz)^2=4+(Cz)^2
↓両辺に-4を加えると
(Bz-Cz)^2=(Cz)^2
↓両辺に-(Cz)^2を加えると
Bz(Bz-2Cz)=0
↓(19)からBz≠0だから
Bz-2Cz=0…(20)

平面αの式はz=ytanθ
だから
ABはα上のベクトルだから(7)から
Bz=Bytanθ…(21)
ACはα上のベクトルだから(8)から
Cz=Cytanθ
となる
↓これと(21)を(20)に代入すると
Bytanθ-2Cytanθ=0
(By-2Cy)tanθ=0
↓tanθ≠0だから
By-2Cy=0
↓両辺に2Cyを加えると
By=2Cy…(22)
↓これを(13)に代入すると
1=(Bx)^2+4(Cy)^2
↓(17)から
↓4-(Cx)^2=(Cy)^2を代入すると
1=(Bx)^2+4{4-(Cx)^2}
↓両辺に4(Cx)^2-(Bx)^2-1を加えると
4(Cx)^2-(Bx)^2=15
(2Cx+Bx)(2Cx-Bx)=15>0
だから
2Cx-Bx≠0…(23)

(15)から
4=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2
↓これに(22)を代入すると
4=(Bx-Cx)^2+(Cy)^2
↓(17)=これから
(Cx)^2+(Cy)^2=(Bx-Cx)^2+(Cy)^2
↓両辺に-(Cy)^2-(Bx-Cx)^2を加えると
2BxCx-(Bx)^2=0
Bx(Bx-2Cx)=0
↓(23)からBx-2Cx≠0だから
Bx=0…(24)
↓これを(7)に代入すると
↑AB=(0,By,Bz)
↓交線の方向ベクトル(1,0,0)との内積は
((0,By,Bz),(1,0,0))=0
だから
∴
ABはαβの交線に垂直である…(25)

(20)から
Bz=2Cz
↓これを(14)に代入すると
1+4(Cz)^2=a^2…(26)

(18)の両辺に-4を加えると
a^2-4=(Cz)^2
↓これを(26)に代入すると
1+4(a^2-4)=a^2
↓両辺に15-a^2を加えると
3a^2=15
↓両辺を3で割ると
a^2=5
↓両辺を(1/2)乗すると
∴
a=√5…(27)

(24)を(13)に代入すると
1=(By)^2…(25)

(21)の両辺を2乗すると
(Bz)^2=(By)^2(tanθ)^2
↓これに(25)を代入すると
(Bz)^2=(tanθ)^2
↓これと(24)と(25)を(10)に代入すると
a^2=1+(tanθ)^2
a^2=1/(cosθ)^2
↓これに(27)を代入すると
5=1/(cosθ)^2
↓両辺に(cosθ)^2/5をかけると
(cosθ)^2=1/5
↓両辺を(1/2)乗すると
∴
cosθ=1/√5

お礼

因みに、辺ABが垂直な時は、辺ABがcosθ倍だけ縮んで、辺ABが平行な時は、三角形の高さがcosθ倍だけ縮んで、それで、どちらの場合も2辺は縮む。不変なものは、辺ABが垂直な時は、三角形の高さで、辺ABが平行な場合は、辺ABということでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

補足

図をあげていただけないでしょうか？なぜ、交線の方向ベクトルは、(1,0,0)なのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.31

musume12

点を表すアルファベットは A、B、C とA'、B'、C' 以外は無視してくれ。作図のために適当に割り振っているので（笑）。