1から1000まで書かれたカードが1枚ずつある
その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
とするとき、
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
となる確率を求める
全場合の数は
1000C2=1000*999/2=500*999=499500
1≦Q<P≦1000
1/1000<1/Q≦1
1<P/Q≦1000
0=log10(1)<log10(P/Q)≦log10(1000)=3
0≦[log10(P/Q)]≦3
だから
[log10(P/Q)]=0 の場合
[log10(P/Q)]=1 の場合
[log10(P/Q)]=2 の場合
[log10(P/Q)]=3 の場合
の4通りの場合しかない
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log_10(3)
となる時
(1)[log10(P/Q)]=0 の場合
1<P/Q<10の時
[log10(P/Q)]=0
log10(P/Q)<log_10(3)
1<P/Q<3
Q+1≦P≦3Q-1
Q+1≦P≦1000
1≦Q≦999
1≦Q≦333の時,Q+1≦P≦3Q-1,の2Q-1通り
334≦Q≦999の時,Q+1≦P≦1000,の1000-Q通り
だから
Σ_{Q=1～333}(2Q-1)+Σ_{Q=334～999}(1000-Q)
通り
(2)[log10(P/Q)]=1 の場合
10≦P/Q<100の時
[log10(P/Q)]=1
log10(P/Q)<1+log_10(3)=log_10(10)+log_10(3)=log_10(30)
10≦P/Q<30
10Q≦P<30Q
10Q≦P≦30Q-1
10Q≦P≦min(30Q-1,1000)
10Q≦1000
1≦Q≦100
1≦Q≦33の時10Q≦P≦30Q-1の20Q通り
34≦Q≦100の時10Q≦P≦1000の1001-10Q通り
だから
Σ_{Q=1～33}20Q+Σ_{Q=34～100}(1001-10Q)
通り
(3)[log10(P/Q)]=2 の場合
100≦P/Q<1000の時
[log10(P/Q)]=2
log10(P/Q)<2+log_10(3)=log_10(100)+log_10(3)=log_10(300)
100≦P/Q<300
100Q≦P<300Q
100Q≦P≦min(300Q-1,1000)
100Q≦P≦1000
1≦Q≦10
1≦Q≦3の時100Q≦P≦300Q-1の200Q通り
4≦Q≦10の時100Q≦P≦1000の1001-100Q通り
だから
Σ_{Q=1～3}200Q+Σ_{Q=4～10}(1001-100Q)
通り
(4)[log10(P/Q)]=2 の場合
P/Q=1000の時
[log10(P/Q)]=3
log10(P/Q)<3+log_10(3)=log_10(1000)+log_10(3)=log_10(3000)
P/Q=1000<3000
Q=1,P=1000
の
1
通り
Σ_{Q=1～333}(2Q-1)+Σ_{Q=334～999}(1000-Q)
+Σ_{Q=1～33}20Q+Σ_{Q=34～100}(1001-10Q)
+Σ_{Q=1～3}200Q+Σ_{Q=4～10}(1001-100Q)
=
2Σ_{Q=1～333}Q-333+Σ_{n=1～666}n
+20Σ_{Q=1～33}Q+Σ_{Q=34～100}{10(101-Q)-9}
+200Σ_{Q=1～3}Q+Σ_{Q=4～10}{100(11-Q)-99}
=
333*334-333+333*667
+10*33*34-9(100-33)+10Σ_{Q=34～100}(101-Q)
+100*3*4-99(10-3)+100Σ_{Q=4～10}(11-Q)
=
333*333+333*667
+10*33*34-9*67+10Σ_{n=1～67}n
+100*3*4-99*7+100Σ_{n=1～7}n
=
333(333+667)
+10*33*34-9*67+10*67*68/2
+100*3*4-99*7+100*7*8/2
=
333*1000
+10*33*34-9*67+10*67*34
+100*3*4-99*7+100*7*4
=
333000
+340(33+67)-603
+1200-693+2800
=
333000
+34000-603
+4000-693
=
371000-1296
=
369705
通り
log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log10(3)
となる確率は
369705/499500
=
3521*7*3*5/125/999
=
24647/33300≒0.74
